高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】 10页

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为  360k k Z      x 轴上角：  180k k Z    y 轴上角：  90 180k k Z      3、第一象限角：  0 360 90 360k k k Z        第二象限角：  90 360 180 360k k k Z         第三象限角：  180 360 270 360k k k Z         第四象限角：  270 360 360 360k k k Z         4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：  0 360 90 360k k k Z        锐角： 0 90    小于90 的角： 90    任意角的概念 弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函 数值求角 和角公式 倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用 5、若 为第二象限角，那么 2  为第几象限角？  kk 222   kk  224 ,24,0  k ,2 3 4 5,1  k 所以 2  在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化： 01745.01801   815730.571801   8、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   2 9、弧长与面积计算公式 弧长： l R  ；面积： 21 1 2 2S l R R    ，注意：这里的 均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦： sin y r   ；余弦 cos x r   ；正切 tan y x   其中 ,x y 为角 终边上任意点坐标， 2 2r x y  . 2、三角函数值对应表： 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   3 2  2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  1 0 1 tan  0 3 3 1 3 无 3 1 3 3  0 无 0 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全 s t c”） sin tan cos 第一象限： 0,0.  yx sin  0,cos  0,tan  0, 第二象限： 0,0.  yx sin  0,cos  0,tan  0, 第三象限： 0,0.  yx sin  0,cos  0,tan  0, 第四象限： 0,0.  yx sin  0,cos  0,tan  0, 4、三角函数线 设任意角 的顶点在原点O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P ( , )x y ， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 (1,0)A 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向 延长线交于点 T. 由四个图看出： 当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 ,OM x MP y  ，于是有 sin 1 y y y MPr      ， cos 1 x x x OMr      ， tan y MP AT ATx OM OA      ． 我们就分别称有向线段 , ,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 o x y M T P A o x y M TP A x y o M T P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ） 5、同角三角函数基本关系式 2 2sin cos 1   sintan tan cot 1cos       cossin21)cos(sin 2   cossin21)cos(sin 2  (  cossin  ，  cossin  ，  cossin  ，三式之间可以互相表示) 6、诱导公式 口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是   2 n 中整数 n 的奇偶性，把 看作锐角) 2 1 2 ( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s , n n nn co n           为偶数 为奇数 ； 2 1 2 ( 1) s ,s( )2 ( 1) sin , n n co nnco n           为偶数 为奇数 . ①.公式（一）： 与  2 ,k k Z    sin)2sin(  k ；  cos)2cos(  k ；  tan)2tan(  k ②.公式（二）： 与   sin sin    ；  cos cos   ；  tan tan    ③.公式（三）： 与   sin sin     ；  cos cos     ；  tan tan    ④.公式（四）： 与   sin sin    ；  cos cos     ；  tan tan     ⑤.公式（五）： 与 2   sin cos2        ； cos sin2         ； ⑥.公式（六）： 与 2   sin cos2        ； cos sin2        ； ⑦.公式（七）： 与 3 2   3sin cos2         ； 3cos sin2        ； ⑧.公式（八）： 与 3 2   3sin cos2         ； 3cos sin2         ； 三、三角函数的图像与性质 1、将函数 siny x 的图象上所有的点，向左（右）平移  个单位长度，得到函数  siny x   的图象；再将函数  siny x   的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到 原来的 1  倍（纵坐标不变），得到函数  siny x   的图象；再将函数  siny x   的图象上 所有点的纵坐标伸 长（缩短）到原 来的 A 倍（横坐 标不变），得到函 数  siny A x   的图象。 2、函数   sin 0, 0y A x A      的性质： ①振幅： A ；②周期： 2T   ；③频率： 1 2f T    ；④相位： x  ；⑤初相： 。 3、周期函数：一般地，对于函数  f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一 个 x 值，都满足    f x T f x  ，那么函数  f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期. 4、⑴ )sin(   xAy 对称轴：令 2x k      ，得     2k x 对称中心：  kx  ，得    kx ， ))(0,( Zkk    ； ⑵ )cos(   xAy 对称轴：令  kx  ，得    kx ； 对称中心： 2   kx ，得     2k x ， ))(0,2( Zk k     ； ⑶周期公式: ①函数 sin( )y A x   及 cos( )y A x   的周期  2T (A、ω、 为常数，且 A ≠0). ②函数    xAy tan 的周期  T (A、ω、 为常数，且 A≠0). 5、三角函数的图像与性质表格 siny x cosy x tany x 图 像 定 义 域 R R ,2x x k k Z       值 域  1,1  1,1 R 最 值 当 2 2x k    k Z 时， max 1y  ； 当 2 2x k    k Z 时， min 1y   ． 当  2x k k Z  时， max 1y  ；当 2x k    k Z 时， min 1y   ． 既无最大值也无最小值 周 期 性 2 2  奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在 2 , 22 2k k         k Z 上是增函数； 在 32 , 22 2k k        k Z 上是减函数． 在  2 ,2k k k Z     上是增函数； 在 2 ,2k k    k Z 上是减函数． 在 ,2 2k k        k Z 上是增函数． 对 称 性 对称中心  ,0k k Z  对称轴  2x k k Z   对称中心  ,02k k Z     对称轴  x k k Z  对称中心  ,02 k k Z     无对称轴 函 数性 质 6. 五点法作 )sin(   xAy 的简图，设   xt ，取 0、 2  、 、 2 3 、 2 来求相 应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 7. )sin(  xAy 的的图像 8. 函数的变换： （1）函数的平移变换 ① )0)(()(  aaxfyxfy 将 )(xfy  图像沿 x 轴向左（右）平移 a 个单位 （左加右减） ② )0()()(  bbxfyxfy 将 )(xfy  图像沿 y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减） （2）函数的伸缩变换： ① )0)(()(  wwxfyxfy 将 )(xfy  图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 w 1 倍（ 1w 缩短， 10  w 伸长） ② )0)(()(  AxAfyxfy 将 )(xfy  图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来 的 A 倍（ 1A 伸长， 10  A 缩短） （3）函数的对称变换： 1 )()( xfyxfy  ) 将 )(xfy  图像绕 y 轴翻折 180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于 x 轴对称） 2 )()( xfyxfy  将 )(xfy  图像绕 x 轴翻折 180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于 y 轴对称） ③ )()( xfyxfy  将 )(xfy  图像在 y 轴右侧保留，并把右侧图像绕 y 轴翻 折到左侧（偶函数局部翻折） ④ )()( xfyxfy  保留 )(xfy  在 x 轴上方图像，x 轴下方图像绕 x 轴翻折上 去（局部翻动） 四、三角恒等变换 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）  cossincossin)sin(  (2）  cossincossin)sin(  (3）  sinsincoscos)cos(  (4）  sinsincoscos)cos(  (5）   tantan1 tantan)tan(      tan tan tan 1 tan tan         (6）   tantan1 tantan)tan(      tan tan tan 1 tan tan         (7) sin cosa b  = 2 2 sin( )a b    (其中,辅助角 所在象限由点 ( , )a b 所在的象 限决定, 2 2 2 2 sin ,cos ,tanb a b aa b a b        ，该法也叫合一变形). (8) )4tan(tan1 tan1      )4tan(tan1 tan1      2. 二倍角公式 （1） aaa cossin22sin  （2） 1cos2sin21sincos2cos 2222  aaaaa （3） a aa 2tan1 tan22tan  3. 降幂公式： （1） 2 2cos1cos2 aa  （2） 2 2cos1sin 2 aa  4. 升幂公式 （1） 2cos2cos1 2   （2） 2sin2cos1 2   （3） 2)2cos2(sinsin1   （4）  22 cossin1  （5） 2cos2sin2sin   5. 半角公式（符号的选择由 2  所在的象限确定） （1） 2 cos1 2sin aa  ， （2） 2 cos1 2cos aa  ， （3） a a a a a aa sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan   6. 万能公式: （1） 2tan1 2tan2 sin 2      , （2） 2tan1 2tan1 cos 2 2       , （3） . 2tan1 2tan2 tan 2      7.三角变换： 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运 用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。 （1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、 删除角的恒等变形 （2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式： )sin(cossin 22   baba 其中 2222 sin,cos ba b ba a      ，比 如： xxy cos3sin  )cos )3(1 3sin )3(1 1()3(1 2222 22 xx     )cos2 3sin2 1(2 xx  )3sincos3cos(sin2  xx  )3sin(2  x （3）注意“凑角”运用：        ，        ，    1 2           例如：已知 ),4 3(  、 , 5 3)sin(   ， 13 12)4sin(   ，则 ?)4cos(   （4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特 别是常数“1”可转化为“  22 cossin  ” （5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如： acos1 常用升幂化为有理式。 （6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 （7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移 项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。 （8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法 （9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去 选择更合适、简捷的方法去解题目。 （10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： aa cossin  ， aacossin aa cossin  ，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。 8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）： ① bxay  sin （或 )cos bxa  型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ② xbxay cossin  型：引进辅助角化成 )sin(22  xbay 再利用有界性 ③ cxbxay  sinsin 2 型：配方后求二次函数的最值，应注意 1sin x 的约束 ④ dxc bxay   sin sin 型：反解出 xsin ，化归为 1sin x 解决 ⑥ cxxbxxay  cossin)cos(sin 型：常用到换元法： xxt cossin  ，但须 注意t 的取值范围： 2t 。 9.三角形中常用的关系： )sin(sin CBA  ， )cos(cos CBA  ， 2cos2sin CBA  ， )(2sin2sin CBA  ， )(2cos2cos CBA  10. 常见数据： 6 2 6 2sin15 cos75 ,sin75 cos154 4          ， 3215tan  , 3275tan  ,