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- 2021-06-16 发布
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等差数列的前n项和
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：中间项为an＋1.
S奇＝·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.
S偶＝·n＝n·an＋1＝480.
所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.
答案：C
2．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7S10，则下列结论正确的是( )
A．d<0 B．a9＝0
C．S11>S7 D．S8、S9均为Sn的最大值
解析：由S70，
又因为S8＝S9，
所以a1＋a2＋…＋a8＝a1＋a2＋…＋a8＋a9，
所以a9＝0，故B项正确．
同理由S9>S10，得a10<0，
因为d＝a10－a9<0，故A项正确．
对C，S11>S7，即a8＋a9＋a10＋a11>0，可得2(a9＋a10)>0，
由结论a9＝0，a10<0，显然C项是错误的．
因为S7S10，所以S8与S9均为Sn的最大值，故D项正确．
答案：ABD
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为( )
A. B. C. D.
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，令S3＝1，S6－S3＝3－1＝
- 5 -
2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.
所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.
所以＝.
答案：A
4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35 C．66 D．100
解析：易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0则2n－5>0，所以n≥3.
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
答案：C
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由得
解得所以an＝－15＋2n.
由an＝－15＋2n≤0，解得n≤.
又n为正整数，所以当Sn取最小值时，n＝7.
答案：C
二、填空题
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．
解析：S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．
因为S3＝9，S6－S3＝27，
所以S9－S6＝45，
所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
答案：45
7．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2＝3a1，则＝
- 5 -
________．
答案：4
8．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________．
解析：＝＝＝×＝.
答案：3∶2
三、解答题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，
因为S12＞0，S13＜0，
所以即
所以－＜d＜－3.
(2)因为S12＞0，S13＜0，
所以所以
所以a6＞0.又由(1)知d＜0.
所以数列前6项为正，从第7项起为负．
所以数列前6项和最大．
10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
解：法一 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②，整理得d＝－，
代入①，得a1＝.
所以S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110×＝－110.
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故此数列的前110项之和为－110.
法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则10S10＋×d′＝S100＝10，
因为S10＝100，代入上式得d′＝－22，
所以S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
所以S110＝－120＋S100＝－110.
法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
因为S10＝100，S100＝10，
所以
所以
所以Sn＝－n2＋n，
所以S110＝－×1102＋×110＝－110.
B级 能力提升
1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
答案：A
2．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·
a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．
解析：由条件可知数列单调递减，故知
a2 003＞0，a2 004＜0，
故S4 006＝＝2 003·(a2 003＋a2 004)＞0，
S4 007＝＝4 007×a2 004＜0，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 006.
答案：4 006
3．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
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(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，
于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.
解得－≤d≤－.
因此d＝－3.
数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
(2)bn＝＝，
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝(－)＝.
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