2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1 8页

www.ks5u.com 课时分层作业(六)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　)‎ A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)‎ B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)‎ C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)‎ D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)‎ D　[若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，‎ B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.]‎ ‎2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　)‎ A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 B　[因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B.]‎ ‎3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝(　　)‎ A． B． C．3 D． A　[由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝.]‎ ‎4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)‎ A．(1，－1,1) B． C． D． B　[对于B，＝，‎ 则n·＝(3,1,2)·＝0，‎ ‎∴n⊥，则点P在平面α内．]‎ ‎5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　)‎ A．(1，－2,4)‎ B．(－4,1，－2)‎ C．(2，－2,1)‎ D．(1,2，－2)‎ B　[设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，‎ ‎∴＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)‎ 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量 则，‎ 取y＝1，‎ 得x＝－4，z＝－2‎ ‎∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量 因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________．‎ ‎1　[由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.]‎ ‎7．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．‎ 或　[设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，‎ 则 解得或 所以平面ABC的单位法向量是或]‎ ‎8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.‎ ‎2∶3∶(－4)　[因为＝，‎ ＝，又因为a·＝0，a·＝0，‎ 所以 解得 所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]‎ 三、解答题 ‎9.如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：‎ ‎(1)MN∥平面CC1D1D；‎ ‎(2)平面MNP∥平面CC1D1D.‎ ‎[证明]　(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，‎ D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．‎ 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，‎ 所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．‎ 由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.‎ 又MN⊄平面CC1D1D，‎ 所以MN∥平面CC1D1D.‎ ‎(2)由于＝(0,2,0)，所以∥，‎ 所以MP∥DC.‎ 由于MP⊄平面CC1D1D，‎ 所以MP∥平面CC1D1D.‎ 又由(1)知，MN∥平面CC1D1D，‎ MN∩MP＝M，‎ 所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.‎ ‎10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?‎ ‎[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，‎ 则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．‎ 设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．‎ 设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则⇒ 令x＝1，则y＝1，z＝2，‎ ‎∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．‎ 若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．‎ ‎∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，‎ 这时n1·＝－2－2＋4＝0，符合题意．‎ ‎∴故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎11．(多选题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1‎ D．A1M∥平面D1PQB1‎ ACD　[连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1‎ 为平行四边形，故A正确．显然A1M与B1Q为异面直线．故B错误．‎ 由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内．‎ 且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．]‎ ‎12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 B　[分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎∵A1M＝AN＝a，＝，＝，‎ ‎∴M，‎ N，∴＝.‎ 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，‎ ‎∴·＝0，∴⊥.‎ ‎∵是平面BB1C1C的法向量，‎ 且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.]‎ ‎13．(一题两空)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：‎ ‎(1)直线AB的方向向量有________个；‎ ‎(2)平面AA1B1B的法向量有________个．‎ ‎(1)8　(2)8　[(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．‎ ‎(2)平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个．]‎ ‎14.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．‎ 　[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，‎ 设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)‎ 则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E ＝(a,0,1)，＝ ＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，‎ ‎∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，‎ 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ ‎＝.‎ ‎∴∴b＝λ＝，即AP＝.]‎ ‎15.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则 ＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)，‎ ‎∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0， ①‎ ‎∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，‎ ＝(－1，y－1，z)，‎ ‎∴由CE∥平面PAB, 可得⊥，‎ ‎∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，‎ ‎∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，‎ 即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.‎