高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用章末复习课 word版含解析 7页

【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用章末复 习课 新人教版选修 2-2 题型一 导数与曲线的切线 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求 “在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类 是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，由 y0－y1 x0－x1 ＝f′(x1)和 y1＝f(x1)求出 x1，y1的值，转化为第一种类型． 例 1 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值． 解 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ a x . (1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－ 2 x (x>0)， 因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)， 即 x＋y－2＝0. (2)由 f′(x)＝1－ a x ＝ x－a x ，x>0 知： ①当 a≤0时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当 a≤0时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a处取得极小值 a－aln a，无极大值． 跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝ax2 ＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切 线为 l，若 l 与圆 C：x2 ＋y2 ＝ 1 4 相切，求 a的值． 解 依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋ 2 x－2 (x<2)， ∴l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0， ∵l 与圆相切，∴ |2－a| 4a－12＋1 ＝ 1 2 ⇒a＝ 11 8 ， ∴a 的值为 11 8 . 题型二 导数与函数的单调性 求解函数 y＝f(x)单调区间的步骤： (1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． 特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连 接． 例 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)； (2)f(x)＝x(x－a)2 . 解 (1)f′(x)＝(x－3)′e x ＋(x－3)(e x )′＝(x－2)e x ， 令 f′(x)>0，解得 x>2，又 x∈(0，＋∞)， ∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)． (2)函数 f(x)＝x(x－a)2 ＝x3 －2ax2 ＋a2x 的定义域为 R， 由 f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得 x1＝ a 3 ，x2＝a. ①当 a>0 时，x1x2， ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，( a 3 ，＋∞)， 单调递减区间为(a， a 3 )． ③当 a＝0时，f′(x)＝3x2 ≥0，∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即 f(x)在 R 上 是单调递增的． 综上，a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞， a 3 )，(a，＋∞)，单调递减区间为( a 3 ，a)； a<0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，( a 3 ，＋∞)，单调递减区间为(a， a 3 )； a＝0时，函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 跟踪训练 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝sin x，x∈0,2π]； (2)y＝xlnx. 解 (1)函数的定义域是 0,2π]， f′(x)＝cos x，令 cos x>0， 解得 2kπ－ π 2 0 得 x>e－1， 因此，f(x)的单调递增区间是(e －1 ，＋∞)，单调递减区间是(0，e －1 )． 题型三 数形结合思想在导数中的应用 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号． 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是 f(x)的极值点． 2．求函数 f(x)在闭区间 a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极植与 f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最 小值； 特别地，①当 f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当 f(x)在(a， b)内只有一个极值点时，若在这一个点处 f(x)有极大(小)值，则可以断定 f(x)在该点处 f(x) 有极大(小)值，则可以断定 f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋ ∞)． 例 3 设 2 3 |x2|，则有 ( ) A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a<0，b>0 D．a>0，b<0 答案 B 解析 由 f(x)的图象易知 f(x)有两个极值点 x1、x2，且 x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋1 的图象如图所示， ∴a<0. 又|x1|>|x2|，∴－x1>x2， ∴x1＋x2<0，即 x1＋x2＝－ 2b 3a <0， ∴b<0. 题型四 定积分及其应用 定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变 力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利 用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限． 例 4 如图，是由直线 y＝x－2，曲线 y2 ＝x 所围成的图形，试求其面积 S. 解 由 y2 ＝x， y＝x－2， 得 x＝1 或 x＝4，故 A(1，－1)，B(4,2)，如图所示， S＝2ʃ10 xdx＋ʃ41( x－x＋2)dx ＝2× 2 3 x 3 2 | 1 0＋( 2 3 x 3 2 － 1 2 x2 ＋2x)|4 1 ＝2× 2 3 ＋( 2 3 ×4 3 2 － 1 2 ×4 2 ＋2×4)－( 2 3 － 1 2 ＋2)]＝ 9 2 . 跟踪训练 4 在区间 0,1]上给定曲线 y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点 t 的值，使图中 的阴影部分的面积 S1与 S2之和最小． 解 面积 S1等于边长为 t 与 t2 的矩形的面积去掉曲线 y＝x2 与 x轴、直线 x＝t围成的面积， 即 S1＝t·t2－ʃt0x2dx＝ 2 3 t3. 面积 S2等于曲线 y＝x2 与 x 轴，x＝t，x＝1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t2 ， (1－t)， 即 S2＝ʃ1tx2 dx－t2 (1－t)＝ 2 3 t3 －t2 ＋ 1 3 . 所以阴影部分面积 S 为： S＝S1＋S2＝ 4 3 t3－t2＋ 1 3 (0≤t≤1)， 由 S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－ 1 2 )＝0， 得 t＝0，或 t＝ 1 2 . 由于当 00， 所以 S(t)在 0