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- 2021-06-16 发布
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7.3
*
复数的三角表示
课标阐释
思维脉络
1
.
通过复数的几何意义
,
了解复数的三角表示
.
(
数学抽象
)
2
.
了解复数的代数形式与三角形式之间的关系
.
(
数学抽象
)
3
.
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
.
(
数学运算、直观想象
)
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点一、复数的三角表示式
1
.
一般地
,
任何一个复数
z=a+b
i
都可以表示成
r
(cos
θ
+
isin
θ
)
的形式
.
其中
,
r
是
复数
z
的模
;
θ
是以
x
轴的非负半轴为始边
,
向量
所在
射线
(
射线
OZ
)
为终边的角
,
叫做复数
z=a+b
i
的
辐角
.r
(cos
θ
+
isin
θ
)
叫做复数
z=a+b
i
的三角表示式
,
简称三角形式
.
为了与三角形式区分开来
,
a+b
i
叫做复数的代数表示式
,
简称代数形式
.
2
.
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值
,
且这些值相差
2
π
的整数倍
.
我们规定在
0≤
θ
<
2
π
范围内的辐角
θ
的值为辐角的主值
.
通常
3
.
两个非零复数相等当且仅当它们的
模
与
辐角的主值
分别相等
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
判断下列说法是否正确
,
正确的在后面的括号内打“
√
”
,
错误的打“
×”
.
①
复数
0
的辐角一定是
0
.
(
)
②
一个给定的复数
,
其辐角也是唯一确定的
.
(
)
③
复数
i
的辐角可以为
-
π
.
(
)
答案
:
①
×
②
×
③√
(2)
将下列复数表示为三角形式
:
①
-
5i;
②
-
10;
③
2
-
2i
.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、复数三角形式乘法法则与几何意义
1
.
已知
z
1
=r
1
(cos
θ
1
+
isin
θ
1
),
z
2
=r
2
(cos
θ
2
+
isin
θ
2
),
则
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(
θ
1
+
θ
2
)
+
isin(
θ
1
+
θ
2
)]
.
这就是说
,
两个复数相乘
,
积的模等于各复数的
模的积
,
积的辐角等于各复数的
辐角的和
.
2
.
复数乘法的几何
意义
激趣诱思
知识点拨
微
练习
激趣诱思
知识点拨
知识
点三、复数三角形式除法法则与几何意义
这就是说
,
两个复数相除
,
商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商
,
商的辐角等于
被除数的辐角
减去
除数的辐角
所得的差
.
2
.
复数除法的几何
意义
激趣诱思
知识点拨
微
练习
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例
1
将下列复数表示成三角形式
.
(1)5i;(2)8;(3)
-
3
-
3i;(4)
-
1
+
i
.
分析
先确定模长及辐角主值
,
再写成三角形式
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
复数的代数形式
z=a+b
i
化为复数三角形式的一般步骤是
:
(
3)
写出复数的三角形式
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
将下列复数中代数形式的表示成三角形式
,
三角形式的表示成代数形式
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数三角形式的乘法运算
例
2
计算下列各式
:
分析
利用复数三角形式的乘法法则计算即可
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
两个复数三角形式乘法的法则可简记为
:
模数相乘
,
辐角相加
,
并且可以作以下推广
:
(1)
有限个复数相乘
,
结论亦成立
.
即
z
1
·z
2
·
…
·z
n
=r
1
(cos
θ
1
+
isin
θ
1
)
·r
2
(cos
θ
2
+
isin
θ
2
)
·
…
·r
n
(cos
θ
n
+
isin
θ
n
)
=r
1
·r
2
·
…
·r
n
[cos(
θ
1
+
θ
2
+
…
+
θ
n
)
+
isin(
θ
1
+
θ
2
+
…
+
θ
n
)]
.
(2)
当
z
1
=z
2
=
…
=z
n
=z
时
,
即
r
1
=r
2
=
…
=r
n
=r
,
θ
1
=
θ
2
=
…
=
θ
n
=
θ
,
有
z
n
=
[
r
(cos
θ
+
isin
θ
)]
n
=r
n
(cos
n
θ
+
isin
n
θ
),
这就是复数三角形式的乘方法则
,
即
:
模数乘方
,
辐角
n
倍
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数三角形式的除法运算
例
3
计算下列各式
:
反思感悟
进行两个复数的三角形式除法运算时
,
将模对应相除当模
,
用被除数辐角减去除数的辐角当做商的辐角
,
即可得两个复数的除法结果
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
3
计算下列各式
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数形结合思想求复数的模及辐角范围
典例
若
z
∈
C
,
|z-
2
|
≤1,
求
|z|
的最大、最小值和
arg
z
范围
.
分析
结合条件及特点
,
本题可用数形结合思想求解
.
解
:
由
|z-
2
|
≤1,
知
z
的轨迹为复平面上以
(2,0)
为圆心
,1
为半径的圆面
(
包括圆周
),
|z|
表示圆面上任一点到原点的距离
.
显然
1≤
|z|
≤3,
∴
|z|
max
=
3,
|z|
min
=
1,
设圆的两条切线为
OA
,
OB
,
A
,
B
为切点
,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
说明
:
本题在求解
|z|
的最大、最小值时
,
也可用代数形式
,
如下
:
设复数
z=x+y
i(
x
,
y
∈
R
),
则由
|z-
2
|
≤1
得
(
x-
2)
2
+y
2
≤1,
∵
(
x-
2)
2
+y
2
≤1,
∴
(
x-
2)
2
≤1,
∴
-
1≤
x-
2≤1,
∴
1≤
x
≤3,
∴
1≤4
x-
3≤9,
∴
1≤
|z|
≤3
.
∴
|z|
max
=
3,
|z|
min
=
1
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
复数
z=-
2
+
2i
的三角形式是
.
解析
:
原式
=
cos(
-
2
π
)
+
isin(
-
2
π
)
=
1
.
答案
:
1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
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