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- 2021-06-16 发布
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第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题
的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分
钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1、设 , , ,a b c R 则复数( )( )a bi c di 为实数的充要条件是( )
A、 0ad bc B、 0ac bd C、 0ac bd D、 0ad bc
2、复数1 3
3
i
i
等于( )
A、i B、 i C、 3 i D、 3 i
3、若复数 z 满足方程 022 z ,则 3z 的值为( )
A、 22 B、 22 C、 i 22 D、 i 22
4、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b
= d; 运 算 “ ” 为 : ),(),(),( adbcbdacdcba , 运 算 “ ” 为 :
),(),(),( dbcadcba ,设 Rqp , ,若 )0,5(),()2,1( qp 则 ),()2,1( qp
( )
A、 )0,4( B、 )0,2( C、 )2,0( D、 )4,0(
5、适合方程 02 izz 的复数 z 是( )
A、 i2
1
6
3 B、 i2
1
6
3 C、 i2
1
6
3 D、 i2
1
6
3
6、 2)1(
3
i
= ( )
A、3
2
i B、-3
2
i C、i D、-i
7、i 是虚数单位, i
i
1
( )
A、 i2
1
2
1 B、 i2
1
2
1 C、 i2
1
2
1 D、 i2
1
2
1
8、如果复数 2( )(1 )m i mi 是实数,则实数 m ( )
A、1 B、 1 C、 2 D、 2
9、已知复数 z 满足 ( 3 +3i)z=3i,则 z=( )
A、 3 3
2 2 i- B、 3 3
4 4 i- C、 3 3
2 2 i+ D、 3 3
4 4 i+
10、在复平面内,复数1 i
i
对应的点位于 ( )
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11、已知 11
m nii
, m n i其中 , 是实数, 是虚数单位, m ni 则 __________
12、在复平面内,若复数 z 满足| 1| | |z z i ,则 z 所对应的点的集合构成的图形
是
。
13、设 x 、 y 为实数,且
ii
y
i
x
31
5
211
,则 x + y =__________.
14、非空集合G 关于运算 满足:(1)对任意 ,a b G ,都有 a b G ;
(2)存在e G ,使得对一切 a G ,都有 a e e a a ,则称G 关于运算 为
“融洽集”;现给出下列集合和运算:
① ,G 非负整数 为整数的加法 ② ,G 偶数 为整数的乘法
③ ,G 平面向量 为平面向量的加法 ④ ,G 二次三项式 为多项式的加法
⑤ ,G 虚数 为复数的乘法
其中G 关于运算 为“融洽集”_______________;(写出所有“融洽集”的序
号)
三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤)
15、 ( 本 小 题 满 分 9 分 ) 已 知 复 数 w 满 足 i(i)23(4 ww 为 虚 数 单 位 ),
|2|5 wwz ,求一个以 z 为根的实系数一元二次方程.
16、(本小题满分 9 分)计算 2025100 )
2
1(])1
1()21[( i
i
iii
17、(本小题满分 9 分) 在复平面上,正方形 ABCD 的两个顶点 A,B 对应的复数分
别为 1+2i,3-5i.求另外两个顶点 C,D 对应的复数.
18、(本小题满分 13 分)设 z 是虚数,
zz 1 是实数,且 21 .
(1)求 z 的值及 z 的实部的取值范围;
(2)设
z
zu
1
1 ,求证u 是纯虚数;
参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
1-10 DADBA AABDD
第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分)
11、 i2
12、直线 xy
13、4
14、①③
15、[解法一] i2i21
i34,i34)i21(
ww , ……4 分
i3|i|i2
5 z . ……8 分
若实系数一元二次方程有虚根 i3 z ,
则必有共轭虚根 i3 z .
10,6 zzzz ,
所求的一个一元二次方程可以是 01062 xx . ……10
分
[解法二] 设 ibaw R)( ba、
baba 2i2i34i ,
得
,23
,24
ab
ba
,1
,2
b
a
i2 w , ……4 分
以下解法同[解法一].
16、解: 2025100 )
2
1(])1
1()21[( i
i
iii
= 1025 )(])(1)21[( iii
= 102 )()21( iii
= 102 )()1( ii
= 12 i
17、解:设 ),( yxC ,则 )5,3(),7,2( yxBCBA
因为 ABCD 是一个正方形,所以
|||| BCBA 并且 0 BCBA
从而:
0)5(7)3()2(
)5()3(7)2( 2222
yx
yx
解得
3
10
y
x 或
7
4
y
x
所以 )3,10( C 或 )7,4( C
同理: )4,8(D 或 )0,6(D .
18、解:(1)设 biaz ,则 22
1
ba
biabiabiabiaw
= )11()11( 2222 ba
bi
ba
a
因为 w 为实数,所以 0,011 22
b
ba
而
从而 122 ba
进而 1|| z .
由以上还可以得知: w a
ba
a 2)11( 22
又由条件 21
可得 12
1 a
(2)
])1][()1[(
])1][()1[(
)1(
)1(
)(1
)(1
1
1
biabia
biabia
bia
bia
bia
bia
z
zu
= 22
22
)1(
])1()1([)1(
ba
ibaabba
22
22
)1(
2)1(
ba
biba
由第(1)题结论, 122 ba 可知u 的实部为 0,
显然u 的虚部不为 0。
u 是纯虚数得证。
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