人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业三 7页

课时提升作业 三 三个正数的算术-几何平均不等式 基础过关 一、选择题(每小题 6 分,共 18 分) 1.函数 y=x 2 ·(1-5x) 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.因为 0≤x≤ , 所以 1-5x≥0, 所以 y=x 2 ·(1-5x)= ≤ = . 当且仅当 x=1-5x,即 x= 时取“=”. 2.设 a,b,c 都是正数,且 a+2b+c=1,则 + + 的最小值为 ( ) A.9 B.12 C.6-2 D.6+4 【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以 + + =(a+2b+c) =4+ + + + + + ≥4+2 +2+2 =6+4 ,当且仅当 a=c= b 时等号成立. 所以 + + 的最小值是 6+4 . 3.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 ,则 2a+b+c 的最小值为 ( ) A. -1 B. +1 C.2 +2 D.2 -2 【解析】选 D.因为 a(a+b+c)+bc=4-2 即(a+b)(a+c)=4-2 ,又 a,b,c>0 所以(a+b)(a+c)≤ = 所以 2a+b+c≥2 -2. 二、填空题(每小题 6 分,共 12 分) 4.已知 a,b,c∈R+,且满足 a+2b+3c=1,则 + + 的最小值为________. 【解析】因为 a,b,c∈R+,且满足 a+2b+3c=1, 所以 + + =(a+2b+3c)· ≥3 ·3 =9,当且仅 当 a=2b=3c= 时取等号.因此 + + 的最小值为 9. 答案:9 5.已知 x,y,z∈R+,且 x+3y+4z=6,则 x 2 y 3 z 的最大值为________. 【解析】因为 x,y,z∈R+,且 x+3y+4z=6, 所以 6=x+3y+4z= + +y+y+y+4z ≥6· , 所以 x 2 y 3 z≤1. 答案:1 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 6.若 a,b,c>0, 求证:a 2 +b 2 +c 2 + ≥6 . 【证明】因为 a,b,c>0, 所以 a 2 +b 2 +c 2 ≥3· ① 又 + + ≥3· , 所以 ≥9· ② a 2 +b 2 +c 2 + ≥3· +9· ≥2· =6 ,当且仅当 a=b=c 时等号成立. 7.设正实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,求 + 的最小值. 【解析】因为正实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1, 所以 + = + =1+ + ≥1+2 =7, 当且仅当 = , 即 x+y= ,y+z= 时,取等号. 所以 + 的最小值为 7. 8.已知实数 a,b,c∈R,a+b+c=1,求 4 a +4 b + 的最小值,并求出取最小值时 a,b,c 的值. 【解析】由平均不等式,得 4 a +4 b + ≥ 3 =3 (当且仅当 a=b=c 2 时等号成立). 因为 a+b+c=1, 所以 a+b=1-c, 则 a+b+c 2 =c 2 -c+1= + , 当 c= 时,a+b+c 2 取得最小值 . 从而当 a=b= ,c= 时,4 a +4 b + 取最小值,最小值为 3 . 能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.若 logxy=-2,则 x+y 的最小值是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.因为 logxy=-2, 所以 x>0 且 x≠1,y>0,且 y=x -2 , 所以 x+y= + + ≥3 = , 当且仅当 = ,即 x= 时等号成立. 2.如果圆柱的轴截面周长 l 为定值,那么圆柱的体积最大值是 ( ) 【解析】选 A.设圆柱的底面半径为 r,高为 h, 则 l=4r+2h,即 2r+h= , V=πr 2 h≤ π= π. 当且仅当 r=h= 时等号成立. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.已知 00, 则 x 2 (1-2x)=x·x(1-2x)≤ = = .当且仅当 x=1-2x,即 x= 时等号成 立.故 x 2 (1-2x)的最大值为 . 答案: 【拓展延伸】用平均不等式求最值 (1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个 条件才能应用,否则会求出错误结果. (2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也 容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活 性和变形能力. (3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行 添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件. (4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能 求出最值. 4.已知关于x的不等式2x+ ≥7在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值 为________. 【解析】2x+ =(x-a)+(x-a)+ +2a 因为 x-a>0, 所以 2x+ ≥3 +2a=3+2a. 当且仅当 x-a= ,即 x=a+1 时,取等号. 所以 2x+ 的最小值为 3+2a, 由题意可得 3+2a≥7,解得 a≥2. 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.已知 a,b,c 同号,且互不相等,a+b+c=1,求证: + + >9. 【证明】 + + = + + =3+ + + + + + , 因为 a,b,c 同号,且 a+b+c=1, 所以 a>0,b>0,c>0, 所以 , , , , , 均大于 0, 又 a,b,c 互不相等, 所以 3+ + + + + + >3+6 =9. 所以 + + >9. 【补偿训练】设 a,b,c 为正实数,求证: + + +abc≥2 . 【证明】因为 a,b,c 为正实数,由平均不等式可得 + + ≥3 即 + + ≥ , 所以 + + +abc≥ +abc, 而 +abc≥2 =2 , 所以 + + +abc≥2 . 当且仅当 a=b=c 时取等号. 6.有一块边长为 36cm 的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形 后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形 面积之和等于多少?最大容积是多少? 【解析】剪下的三个全等的四边形如图所示,设 A1F1=xcm,则 AF1= xcm, 所以 A1B1=F1F2=36-2 x. 所以 V= (36-2 x) 2 ·x = (6 -x)(6 -x)·2x. 因为 00. 又(6 -x)+(6 -x)+2x=12 , 所以当 6 -x=2x, 即 x=2 时,V 有最大值, 这时 V 最大= ·(4 ) 3 =864(cm 3 ). 因为 =x· x= x 2 =12 (cm 2 ), 所以此时三个四边形面积之和等于 36 cm 2 .