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- 2021-06-16 发布
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数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
1.已知两点A(2,1),B(3,3),则直线AB的斜率为( )
A.2 B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.过点,且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知圆,直线,则被圆所截得的弦长为( )
A. B. 2 C. D. 1
5.在三棱锥中,平面,,且,则异面直线与所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知直线:和直线:平行,则的值是( )
A. 3 B. C.3或 D.或
7.已知是两个平面,是两条直线,下列说法正确的是( )
A.若则 B.若,则
C.若,,则 D.若,,则
8.已知三棱柱的体积为,则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
9. 如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By-C=0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10. 某四棱锥的三视图如右图所示,俯视图是等腰直角三角形,则该四棱锥的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知圆的方程为 是该圆内一点,过点的最长弦和最短弦分别为
和,则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
12. 在三棱锥中,平面,,是线段
上的动点,记直线与平面所成角为,若的最大值为,则三棱锥外接
球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若三点A(2,3),B(3,-1),C(,m)共线,则m的值为 .
14. 已知点A(﹣4,﹣5),B(6,﹣1),则以线段AB为直径的圆的方程为 .
15. 已知直线经过圆的圆心,则的最小值是 .
16. 已知边长为的等边,是边的中点,沿中线将折起,使得二面角
为,则四面体的外接球的表面积为 .
三、解答题:本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
如图,在平行四边形中,边所在直线方程为,点.
(1)求直线的方程;
(2)求边上的高所在直线的方程.
18.(本小题满分12分)
(1)已知方程表示一个圆,求实数的取值范围;
(2) 求圆心在直线3x+y-5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程.
19.(本小题满分12分)圆过点,求
(1)周长最小的圆的方程;
(2)圆心在直线上的圆的方程.
20.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥中,底面为菱形,且,
平面平面,,分别在棱,上,且
.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
21.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥中,已知底面是矩形,是的中点,.
第21题图
(1)在线段上找一点,使得,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求证.
22.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥中,,,平面,直线与平面所成角为,、分别是、上的动点,且.
(I)求证:平面;
(II)是否存在,使得平面平面? 若存在, 求出的值;若不存在,请说明理由.
答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
ADACD ADBAA DC
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 9; 14. ; 15.9 ; 16. .
三、解答题:本大题共6个小题,共70分。
17.解:(1)四边形为平行四边形,.
.
直线的方程为,即.………5分
(2),.
直线的方程为,即.……10分
18.试题解析:(1),
解得: ………6分
(2)设:原点O(0,0)和点A(4,0),则线段OA的垂直平分线的方程为x=2
所以圆心的坐标为(2,b)
又因为圆心在直线3x+y-5=0上,所以3×2+b-5=0,b=-1, 圆心的坐标为(2,-1)
r2=22+(-1)2 =5
所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2 =5 ………12分
19.(1)当为直径时,过、的圆的半径最小,从而周长最小,即中点为圆心,半径,则圆的方程为:; ……………………………(6分)
(2)的斜率为,则的垂直平分线的方程是
,即,
由得,即圆心坐标是, ……………………………(9分)
,
∴圆的方程是, …………………………………(12分)
20.解:(I)在上取点,使得,连,……………….1分
为平行四边形,………………….3分
平面平面平面.…………….6分
(II),取中点连,
平面平面,平面平面,
.………………….12分
21(1)解:M是线段PD的中点,在中,O,M分别是BD、PD的中点,
第20题图
……………………(3分)
又 ………(5分)
……………………(6分)
(2)
又 四边形ABCD是矩形,
且
, ………………………(8分)
又
又 ,M是PD的中点
且 ……………………………………(10分)
………………………………………………(12分)
22 (I)证明:在平面内,,
, , ……………2分
平面,平面, ……4分
由于, 平面
平面. ……………………………………………6分
(II)平面,平面, ,
要使得平面平面, 只需 ……………………8分
又,,不妨设,
平面,直线与平面所成角为, , …9分
在中,,,, ,…11分
. ………………………………………………………12分
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