2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（文科） 8页

‎2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎ ‎ ‎1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}‎，集合A={1, 2, 3}‎，B={2, 4}‎，则‎(‎∁‎UA)∪B为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎{1, 2, 4}‎ B.‎{2, 3, 4}‎ C.‎{0, 2, 4}‎ D.‎‎{0, 2, 3, 4}‎ ‎ ‎ ‎2. “x=1‎”是“x‎2‎‎=1‎”的（ ） ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知函数f(x)=‎log‎3‎x，x>0‎‎2‎x‎，x≤0‎，则f[f(‎1‎‎9‎)]=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎4‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎−4‎ D.‎‎−‎‎1‎‎4‎ ‎ ‎ ‎4. 设平面向量a‎→‎‎=(1,2)，b‎→‎=(3,−1)‎，则‎|2a‎→‎+b‎→‎|=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎5‎ B.‎6‎ C.‎17‎ D.‎‎34‎ ‎ ‎ ‎5. 已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且Sn‎=2n‎2‎−1‎，则a‎3‎等于（ ） ‎ A.‎−10‎ B.‎6‎ C.‎10‎ D.‎‎14‎ ‎ ‎ ‎6. 函数y=‎xln|x|‎‎|x|‎的图象可能是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎7. 为了得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π‎6‎)‎的图象（ ） ‎ A.向左平移π‎12‎个长度单位 B.向左平移π‎6‎个长度单位 C.向右平移π‎6‎个长度单位 D.向右平移π‎12‎个长度单位 ‎ ‎ ‎ ‎8. 已知点A(−1, 0)‎、B(1, 3)‎，向量a‎→‎‎=(2k−1, 2)‎，若AB‎→‎‎⊥‎a‎→‎，则实数k的值为（ ） ‎ A.‎−2‎ B.‎−1‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎9. 已知等差数列‎{an}‎的公差为‎2‎，若a‎1‎，a‎3‎，a‎4‎成等比数列，则a‎2‎‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎−4‎ B.‎−6‎ C.‎−8‎ D.‎‎−10‎ ‎ ‎ ‎10. 设a=log‎3‎6‎，b=log‎5‎10‎，c=log‎7‎14‎，则(        ) ‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.‎a>b>c ‎ ‎ ‎11. 在‎△ABC中，A=‎‎60‎‎∘‎，b=16‎，面积S=220‎‎3‎，则c=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎10‎‎6‎ B.‎75‎ C.‎55‎ D.‎‎49‎ ‎ ‎ ‎12. 设定义在R上的偶函数f(x)‎满足f(x+2)=f(x)‎，f′(x)‎是f(x)‎的导函数，当x∈[0, 1]‎时，‎0≤f(x)≤1‎；当x∈(0, 2)‎且x≠1‎时，x(x−1)f′(x)<0‎．则方程f(x)=lg|x|‎根的个数为（ ） ‎ A.‎12‎ B.‎1 6‎ C.‎18‎ D.‎‎20‎ 二、填空题（本题共4小题，共16分）‎ ‎ ‎ ‎ 设集合M={x|(x+3)(x−2)<0}‎，N={x|10‎，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)=(3−2a‎)‎x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知二次函数f(x)=ax‎2‎−4x+c．若f(x)<0‎的解集是‎(−1, 5)‎ ‎ ‎(1)‎求实数a，c的值；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求函数f(x)‎在x∈[0, 3]‎上的值域．‎ ‎ ‎ ‎ 设函数f(x)=‎3‎sin2x+2cos‎2‎x． ‎ ‎（1）求函数f(x)‎的最小正周期；‎ ‎ ‎ ‎（2）求函数f(x)‎的单调递增区间．‎ ‎ ‎ ‎ 已知数列‎{an}‎是等比数列，首项a‎1‎‎=2‎，a‎4‎‎=16‎． ‎(l)‎求数列‎{an}‎的通项公式； ‎(2)‎设数列bn‎=lgan，证明数列‎{bn}‎是等差数列并求前n项和Tn． ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a‎2‎＝b‎2‎‎+c‎2‎+bc． ‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎ ‎ ‎（2）若sinB+sinC＝‎1‎，b＝‎2‎，试求‎△ABC的面积．‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎＝xlnx． ‎(l)‎求f(x)‎的单调区间和极值； ‎ 若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥‎‎−x‎2‎+mx−3‎‎2‎恒成立，求实数m的最大值．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 交、并、补集的混合运算 ‎【解析】‎ 找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 全集U={0, 1, 2, 3, 4}‎，集合A={1, 2, 3}‎， ∴ ‎∁‎UA={0, 4}‎，又B={2, 4}‎， 则‎(‎∁‎UA)∪B={0, 2, 4}‎． 故选C.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ 先判断由x=1‎能否推出“x‎2‎‎=1‎”，再判断由“x‎2‎‎=1‎”成立能否推出“x=1‎“成立，利用充要条件的定义判断出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：当x=1‎成立则“x‎2‎‎=1‎”一定成立 反之，当“x‎2‎‎=1‎”成立则x=±1‎即x=1‎不一定成立 ∴ “x=1‎”是“x‎2‎‎=1‎”的充分不必要条件 故选A．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的求值 ‎【解析】‎ 将函数由内到外依次代入，即可求解 ‎【解答】‎ 解：根据分段函数可得： f(‎1‎‎9‎)=log‎3‎‎1‎‎9‎=−2‎， 则f(f(‎1‎‎9‎))=f(−2)=‎2‎‎−2‎=‎‎1‎‎4‎， 故选B ‎4.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 平面向量的坐标运算 向量的模 ‎【解析】‎ 先求‎2a‎→‎+‎b‎→‎的坐标表示，再求它的模．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 平面向量a‎→‎‎=(1,2)，b‎→‎=(3,−1)‎， ∴ ‎2a‎→‎+b‎→‎=2(1, 2)+(3, −1)=(5, 3)‎； ∴ ‎|2a‎→‎+b‎→‎|=‎5‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎34‎； 故选：D．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 数列的函数特性 ‎【解析】‎ 利用a‎3‎‎=S‎3‎−‎S‎2‎即可得出．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ Sn‎=2n‎2‎−1‎，∴ a‎3‎‎=S‎3‎−S‎2‎=(2×‎3‎‎2‎−1)−(2×‎2‎‎2‎−1)=17−7=10‎． 故选：C．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 函数的图象 ‎【解析】‎ 当x>0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx，当x<0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xln(−x)‎‎−x=−ln(−x)‎，作出函数图象为B．‎ ‎【解答】‎ 函数y=‎xln|x|‎‎|x|‎的定义域为‎(−∞, 0)∪(0, +∞)‎关于原点对称． 当x>0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx， 当x<0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xln(−x)‎‎−x=−ln(−x)‎，此时函数图象与当x>0‎时函数y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx的图象关于原点对称．‎ ‎7.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 ‎【解析】‎ 利用函数y＝sin(2x+π‎6‎)‎的图象变换即可求得答案．‎ ‎【解答】‎ 令y＝f(x)‎＝sin(2x+π‎6‎)‎， 则f(x−π‎12‎)‎＝sin[2(x−π‎12‎)+π‎6‎]‎＝sin2x， ∴ 为了得到函数y＝sin 2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π‎6‎)‎的图象向右平移π‎12‎个单位．‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 数量积判断两个平面向量的垂直关系 ‎【解析】‎ 先用B的坐标减去A即得AB‎→‎ 的坐标，再利用两个向量垂直，数量积等于‎0‎求出实数k的值．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ AB‎→‎‎=(2, 3)‎，向量a=(2k−1, 2)‎，∵ AB‎→‎‎⊥‎a‎→‎，∴ AB‎→‎‎⋅a‎→‎=(2, 3)⋅(2k−1, 2)=2(2k−1)+6=0‎， ∴ k=−1‎， 故选B．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 等比数列的性质 等差数列的性质 ‎【解析】‎ 利用已知条件列出关于a‎1‎，d的方程，求出a‎1‎，代入通项公式即可求得a‎2‎．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ a‎4‎‎=a‎1‎+6‎，a‎3‎‎=a‎1‎+4‎， a‎1‎，a‎3‎，a‎4‎成等比数列， ∴ a‎3‎‎2‎‎=a‎1‎⋅‎a‎4‎， 即‎(a‎1‎+4‎)‎‎2‎=a‎1‎×(a‎1‎+6)‎， 解得a‎1‎‎=−8‎， ∴ a‎2‎‎=a‎1‎+2=−6‎． 故选B．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 对数值大小的比较 ‎【解析】‎ 利用loga‎(xy)=logax+logay(x、y>0)‎，化简a，b，c然后比较log‎3‎‎2‎，log‎5‎‎2‎，log‎7‎‎2‎大小即可．‎ ‎【解答】‎ 解：因为a=log‎3‎6=1+log‎3‎2‎，b=log‎5‎10=1+log‎5‎2‎，c=log‎7‎14=1+log‎7‎2‎， 因为y=log‎2‎x是增函数， 所以log‎2‎‎7>log‎2‎5>log‎2‎3‎. 因为log‎2‎‎7=‎‎1‎log‎7‎‎2‎，log‎2‎‎5=‎‎1‎log‎5‎‎2‎，log‎2‎‎3=‎‎1‎log‎3‎‎2‎， 所以log‎3‎‎2>log‎5‎2>log‎7‎2‎， 所以a>b>c. 故选D．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 三角形求面积 ‎【解析】‎ 利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S=‎1‎‎2‎bcsinA，把sinA，已知的面积和b的值代入求出c的值 ‎【解答】‎ 解：∵ A=‎‎60‎‎∘‎，b=16‎，面积S=220‎‎3‎， 由S=‎1‎‎2‎bcsinA=4‎3‎c=220‎‎3‎， 得c=55‎， 故选：‎C ‎12.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 导数的运算 抽象函数及其应用 根的存在性及根的个数判断 ‎【解析】‎ 依据函数的周期性，画出函数y=f(x)‎的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|‎的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数 ‎【解答】‎ 解：∵ f(x+2)=f(x)‎，∴ 函数y=f(x)‎的周期是‎2‎， 又∵ 当x∈(0, 2)‎且x≠1‎时，x(x−1)f′(x)<0‎， ∴ 当‎00‎，函数在‎[0, 1]‎上是增函数 又由当x∈[0, 1]‎时，‎0≤f(x)≤1‎， 则f(0)=0‎，f(1)=1‎． 而y=lg|x|‎是偶函数，当x>0‎时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数， 由于x=10‎时，y=lg10=1‎， ∴ 其图象与f(x)‎的图象在‎[0, 2]‎上有一个交点，在每个周期上各有两个交点， ∴ 在y轴右侧共有‎9‎个交点． ∵ y=lg|x|‎是偶函数，其图象关于y轴对称， ∴ 在y轴左侧也有 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎9‎个交点 ∴ 两函数图象共有‎18‎个交点． 故选：C．‎ 二、填空题（本题共4小题，共16分）‎ ‎【答案】‎ ‎{x|10‎，在区间‎[−π‎2‎，0]‎上f‎′‎‎(x)<0‎，由此知函数f(x)‎在区间‎[0,π‎2‎]‎上单调递增，在区间‎[−π‎2‎，0]‎上单调递减，故④正确． 故答案为：①④‎ 三、解答题（本题共6小题，共74分）‎ ‎【答案】‎ 解：∵ p∨q为真，p∧q为假，∴ p为真，q为假，或p为假，q为真． ①当p为真，q为假时， ‎△=4a‎2‎−16<0‎‎0<3−2a<1‎，解得‎11‎，解得a≤−2‎ 综上，实数a的取值范围是‎{a|a≤−2或11‎，解得a≤−2‎ 综上，实数a的取值范围是‎{a|a≤−2或10‎有 x>‎‎1‎e，∴ 函数f(x)‎在‎(‎1‎e,+∞)‎上递增，f‎′‎‎(x)<0‎有 ‎00‎， ∴ m≤‎‎2x⋅lnx+x‎2‎+3‎x， 令h(x)=‎‎2x⋅lnx+x‎2‎+3‎x， h(x)=‎(2x⋅lnx+x‎2‎+3)⋅x−(2x⋅lnx+x‎2‎+3)⋅‎x‎′‎x‎2‎=‎‎2x+x‎2‎−3‎x‎2‎ 令h‎′‎‎(x)‎＝‎0‎，解得x＝‎1‎或x＝‎−3‎（舍） 当x∈(0, 1)‎时，h‎′‎‎(x)<0‎，函数h(x)‎在‎(0, 1)‎上递减 当x∈(1, +∞)‎时，h‎′‎‎(x)>0‎，函数h(x)‎在‎(1, +∞)‎上递增， ∴ h(x‎)‎min＝h(1)‎＝‎4‎． ∴ m≤4‎， 即m的最大值为‎4‎．‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的单调性 函数恒成立问题 ‎【解析】‎ ‎(l)‎求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x)‎的单调区间和极值； （2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．‎ ‎【解答】‎ 解 （1）∵ f(x)‎＝xlnx， ∴ f‎′‎‎(x)‎＝lnx+1‎， ∴ f‎′‎‎(x)>0‎有 x>‎‎1‎e，∴ 函数f(x)‎在‎(‎1‎e,+∞)‎上递增，f‎′‎‎(x)<0‎有 ‎00‎， ∴ ‎m≤‎‎2x⋅lnx+x‎2‎+3‎x 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎， 令h(x)=‎‎2x⋅lnx+x‎2‎+3‎x， h(x)=‎(2x⋅lnx+x‎2‎+3)⋅x−(2x⋅lnx+x‎2‎+3)⋅‎x‎′‎x‎2‎=‎‎2x+x‎2‎−3‎x‎2‎ 令h‎′‎‎(x)‎＝‎0‎，解得x＝‎1‎或x＝‎−3‎（舍） 当x∈(0, 1)‎时，h‎′‎‎(x)<0‎，函数h(x)‎在‎(0, 1)‎上递减 当x∈(1, +∞)‎时，h‎′‎‎(x)>0‎，函数h(x)‎在‎(1, +∞)‎上递增， ∴ h(x‎)‎min＝h(1)‎＝‎4‎． ∴ m≤4‎， 即m的最大值为‎4‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页