广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中考试数学试题（Word版，含答案） 13页

汕头市金山中学2020-2021学年度第一学期 高三数学期中考试 第I卷（选择题共60分）‎ 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知直线平面，则“”是“直线平面”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨1粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为素数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（ ）‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 A． B． C． D． ‎ ‎5．定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点” ．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）‎ ‎9．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎10．在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 A． ‎ B．若，则 C． ‎ D．若，且，则为等边三角形 ‎11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为,并满足条件，，，下列结论正确的是( )‎ A． B．‎ C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 ‎12．已知直三棱柱中，，， 为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）‎ A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为 B．无论点在上怎么运动，都有 C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且 D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°‎ 第II卷(非选择题共90分）‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 的展开式中的系数为 ．‎ ‎14．在中，，，为斜边上靠近点的三等分点，为边的中点，则的值为 ．‎ ‎15．已知，，且，则最小值为__________．‎ ‎16．已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1. 若，则该双曲线的离心率为____________.‎ 四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．(本小题满分10分）‎ 在中，角的对边分别为，若，，.‎ ‎（1）求边长；‎ ‎（2）已知点为边的中点，求的长．‎ ‎18．(本小题满分12分）‎ 已知递增等比数列满足：，数列的前项和为，且，记..‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎19．(本小题满分12分）‎ 为了解高三年级学生暑假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在暑假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间的有8人．‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 ‎（1）求直方图中的值及甲班学生平均每天学习时间在区间的人数；‎ ‎（2）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎20．(本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，， ，，，．点为棱的中点．‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）已知点为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明：四边形的面积为定值，并求该定值.‎ ‎22．(本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数）．‎ ‎（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 汕头市金山中学高三数学期中考试卷答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B A D C B C D BC ACD AB ABD ‎13、 14、 15、 16、‎ ‎12、【解析】直三棱柱中，，‎ 选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示 即有面 ‎∴直线与平面所成的角的正切值：‎ ‎∵，‎ ‎∴，故A正确 选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 由题意知，为正方形，即有 而且为直三棱柱，有面，面 ‎∴，又 ‎∴面，面，故 同理可证：，又 ‎∴面，又面，即有，故B正确 选项C中，点运动到中点时，即在△中、均为中线 ‎∴Q为中线的交点重心 ‎∴根据重心的性质有：，故C错误 选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：‎ 结合下图分析知：点在上运动时 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 当在或上时，最大为45°‎ 当在中点上时，最小为 ‎∴不可能是30°，故D正确 故选：ABD ‎17．【解析】解：（1）由,,得,………1分 所以,…………3分 由正弦定理,可得.…………5分 ‎（2）,…………6分 在中, …………8分 在中,由余弦定理得：…………9分 所以, …………10分 ‎18．【解析】（1），方程的两根，‎ ‎，所以 …………2分 ‎ ‎ ‎…………3分 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 当时，…………5分 ‎，所以 …………6分 ‎（2）‎ ‎，…………10分 所以.…………12分 ‎19．【解析】‎ ‎（I） 由直方图知，，解得…………2分 因为甲班学习时间在区间的有8人，‎ 所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．‎ 所以甲班学习时间在区间的人数为（人）．…………4分 ‎（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）．‎ 由⑴知甲班学习时间在区间的人数为3人，…………5分 在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3．…………6分 ‎，，‎ ‎，． …………10分 所以随机变量的分布列为：‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．…………12分 ‎20．【解析】解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，‎ 可得 由为棱的中点，得，‎ ‎（1）向量，‎ 故，，又面，面．所以．‎ 又因为面，面，，‎ 所以面 ……………………5分 ‎（2）‎ 由点在棱上，设 故 由，得 因此， …………7分 即…………8分 设为平面的法向量，则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量，…………10分 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 取平面的法向量，则 因为二面角的平面角为锐角 所以二面角的余弦值为…………12分 ‎ 21．【解析】（1）由，得，……………………1分 将代入椭圆的方程可得，所以，……………………3分 故椭圆的方程为．……………………4分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，方程为：或，‎ 从而有，‎ 所以．……………………5分 当直线的斜率存在时，‎ 设直线方程为：，，．‎ 将的方程代入整理得：，‎ 所以，， ‎ ‎， ……………………7分 由得：，……………………8分 将点坐标代入椭圆方程得：．……………………9分 点到直线的距离，‎ ‎，‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 综上，平行四边形的面积为定值．……………………12分 ‎22．【解析】（1）∵，，………………1分 ‎∴． ‎ 设，，‎ ‎∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，‎ ‎∴在定义域上恒成立，即在上恒成立……2分 又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，‎ ‎∴， 或，………………3分 解得. ∴实数的取值范围为．………………4分 ‎（2）由（1）知函数的两个极值点满足，‎ ‎∴．………………5分 不妨设，‎ 则在上是减函数，故，………………6分 ‎∴‎ ‎．………………8分 令，则，‎ 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页 又，即，解得，………………9分 故， ∴．‎ 设，则， ‎ ‎∴在上为增函数． ………………11分 ‎∴，‎ 即．‎ 所以的最大值为．………………12分 高三数学期中考试 第 13 页 共 13 页