高二数学人教a必修5练习：3-3-2简单的线性规划问题（二）word版含解析 7页

3．3.2 简单的线性规划问题(二) 课时目标 1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型． 1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解； 根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)． 2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资 源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问 怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小． 一、选择题 1．某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克，生产乙产品每千克 需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元．月 初一次性购进本月用的原料 A、B 各 c1、c2 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千 克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、 y 千克，月利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 z＝d1x＋d2y 最大的数学模型中，约束条 件为( ) A. a1x＋a2y≥c1， b1x＋b2y≥c2， x≥0， y≥0 B. a1x＋b1y≤c1， a2x＋b2y≤c2， x≥0， y≥0 C. a1x＋a2y≤c1， b1x＋b2y≤c2， x≥0， y≥0 D. a1x＋a2y＝c1， b1x＋b2y＝c2， x≥0， y≥0 答案 C 解析 比较选项可知 C 正确． 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数 z＝ax＋y (a>0) 取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为( ) A.1 4 B.3 5 C．4 D.5 3 答案 B 解析 由 y＝－ax＋z 知当－a＝kAC 时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－3 5 ，∴a＝3 5. 3．某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对 项目乙投资的2 3 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这 两个项目上共可获得的最大利润为( ) A．36 万元 B．31.2 万元 C．30.4 万元 D．24 万元 答案 B 解析 设投资甲项目 x 万元，投资乙项目 y 万元， 可获得利润为 z 万元，则 x＋y≤60， x≥2 3y， x≥5， y≥5， z＝0.4x＋0.6y. 由图象知， 目标函数 z＝0.4x＋0.6y 在 A 点取得最大值． ∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)． 4．某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品，甲车间加工一 箱原料需耗费工时 10 小时，可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加 工一箱原料耗费工时 6 小时，可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元．甲、乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小 时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A．甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 B．甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 C．甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 D．甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，由题意可知 x＋y≤70， 10x＋6y≤480， x≥0， y≥0. 甲、乙两车间每天总获利为 z＝280x＋200y. 画出可行域如图所示． 点 M(15,55)为直线 x＋y＝70 和直线 10x＋6y＝480 的交点，由图象知在点 M(15,55)处 z 取得最大值． 5．如图所示，目标函数 z＝kx－y 的可行域为四边形 OABC，点 B(3,2)是目标函数的最 优解，则 k 的取值范围为( ) A. 2 3 ，2 B. 1，5 3 C. －2，－2 3 D. －3，－4 3 答案 C 解析 y＝kx－z.若 k>0，则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0，4)，不符合题意． ∴k<0，∵点(3,2)是目标函数的最优解． ∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－2 3. 二、填空题 6．某公司租赁甲、乙两种设备生产 A，B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件．已知设备甲每 天的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元，现该公司至少要生产 A 类产品 50 件， B 类产品 140 件，所需租赁费最少为________元． 答案 2 300 解析 设需租赁甲种设备 x 台，乙种设备 y 台，则 5x＋6y≥50， 10x＋20y≥140， x∈N*， y∈N*. 目标函数为 z＝200x＋300y. 作出其可行域，易知当 x＝4，y＝5 时，z＝200x＋300y 有最小值 2 300 元． 7．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 5x－11y≥－22， 2x＋3y≥9， 2x≤11， 则 z＝10x＋10y 的最大值是________． 答案 90 解析 该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于 x，y∈N*，计算区域内与点 11 2 ，9 2 最近 的整点为(5,4)，当 x＝5，y＝4 时，z 取得最大值为 90. 8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于 15 吨，已知生产甲产品 1 吨需 煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳动力 3 个(按工作日计算)；生产乙产品 1 吨需煤 4 吨，电力 5 千瓦， 劳动力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤量不得超过 300 吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______ 吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 答案 20 24 解析 设每天生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，总利润为 S 万元， 依题意约束条件为： 9x＋4y≤300， 4x＋5y≤200， 3x＋10y≤300， x≥15， y≥15， 目标函数为 S＝7x＋12y. 从图中可以看出，当直线 S＝7x＋12y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以 S 也取最 大值． 解方程组 4x＋5y－200＝0， 3x＋10y－300＝0， 得 A(20,24)，故当 x＝20，y＝24 时， Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题 9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质 和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2 元．若 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满 足营养，又使费用最省？ 解 将已知数据列成下表： 原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 甲 5 10 乙 7 4 费用 3 2 设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g，总费用为 z，那么 5x＋7y≥35， 10x＋4y≥40， x≥0，y≥0， 目标函数为 z＝3x＋2y，作出可行域如图所示： 把 z＝3x＋2y 变形为 y＝－3 2x＋z 2 ，得到斜率为－3 2 ，在 y 轴上的截距为z 2 ，随 z 变化的一 族平行直线． 由图可知，当直线 y＝－3 2x＋z 2 经过可行域上的点 A 时，截距z 2 最小，即 z 最小． 由 10x＋4y＝40， 5x＋7y＝35， 得 A(14 5 ，3)， ∴zmin＝3×14 5 ＋2×3＝14.4. ∴甲种原料14 5 ×10＝28(g)，乙种原料 3×10＝30(g)，费用最省． 10．某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产 每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2， 出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下： 方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120 (1)设只生产书桌 x 个，可获得利润 z 元， 则 0.1x≤90 2x≤600 z＝80x ⇒ x≤900 x≤300 ⇒x≤300. 所以当 x＝300 时，zmax＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元． (2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元， 则 0.2y≤90 1·y≤600 z＝120y ⇒ y≤450 y≤600 ⇒y≤450. 所以当 y＝450 时，zmax＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元． (3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元，则 0.1x＋0.2y≤90 2x＋y≤600 x≥0 y≥0 ⇒ x＋2y≤900， 2x＋y≤600， x≥0， y≥0. z＝80x＋120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线 l：80x＋120y＝0，即直线 l：2x＋3y＝0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，此时 z＝80x＋120y 取得最大值． 由 x＋2y＝900， 2x＋y＝600 解得点 M 的坐标为(100,400)． 所以当 x＝100，y＝400 时， zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)． 因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个， 可使所得利润最大． 能力提升 11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数 z＝x＋ay 取得 最小值的最优解有无数个，则 a 的一个可能值为( ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案 A 解析 当 a＝0 时，z＝x.仅在直线 x＝z 过点 A(1,1)时， z 有最小值 1，与题意不符． 当 a>0 时，y＝－1 ax＋z a. 斜率 k＝－1 a<0， 仅在直线 z＝x＋ay 过点 A(1,1)时， 直线在 y 轴的截距最小，此时 z 也最小， 与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾． 当 a<0 时，y＝－1 ax＋z a ，斜率 k＝－1 a>0， 为使目标函数 z 取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1 a ＝kAC.即－1 a ＝1 3 ，∴a ＝－3. 12．要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格 的小钢板的块数如下表所示： 规模类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别至少为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张 可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张． 2x＋y≥15 x＋2y≥18 x＋3y≥27 x≥0，y≥0 . 作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为 z＝x＋y. 作出一组平行直线 x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直 线 x＋3y＝27 和直线 2x＋y＝15 的交点 A 18 5 ，39 5 ，直线方程为 x＋y＝57 5 .由于18 5 和39 5 都不是 整数，而最优解(x，y)中，x，y 必须都是整数，所以可行域内点 18 5 ，39 5 不是最优解． 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x＋y＝12，经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8)，它们都是最优解． 答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种 截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张．两种方法都最少要截两种钢板共 12 张． 1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应 尽可能准确，图上操作尽可能规范． 2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据 约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求 最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．