高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.3 导数的几何意义 11页

1．1.3 导数的几何意义 [学习目标] 1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义． 3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接] 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度， 这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有 怎样的几何意义呢？ 答 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) 的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝fx0＋Δx－fx0 Δx .当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，这条 直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线．于是，当Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限 趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . [预习导引] 1．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切 线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)．相 应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的导函数 当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)是 x 的一个函数，称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝ limΔx→0 fx＋Δx－fx Δx . 要点一 过曲线上一点的切线方程 例 1 若曲线 y＝x3＋3ax 在某点处的切线方程为 y＝3x＋1，求 a 的值． 解 ∵y＝x3＋3ax. ∴y′＝limΔx→0 x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax Δx ＝limΔx→0 3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx Δx ＝limΔx→0 [3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a. 设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)， 结合已知条件，得 3x20＋3a＝3， x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1， 解得 a＝1－ 3 2 2 ， x0＝－ 3 4 2 . ∴a＝1－ 3 2 2 . 规律方法 一般地，设曲线 C 是函数 y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线 C 上的定 点，由导数的几何意义知 k＝limΔx→0 Δy Δx ＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ，继而由点与斜率可 得点斜式方程，化简得切线方程． 跟踪演练 1 求曲线 y＝1 x 在点 2，1 2 处的切线方程． 解 因为limΔx→0 f2＋Δx－f2 Δx ＝limΔx→0 1 2＋Δx －1 2 Δx ＝ limΔx→0 －1 22＋Δx ＝－1 4.所以这条曲线在点 2，1 2 处的切线斜率为－1 4 ，由直线的点斜 式方程可得切线方程为 y－1 2 ＝－1 4(x－2)，即 x＋4y－4＝0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程 例 2 已知曲线 y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程． 解 y′＝limΔx→0 Δy Δx ＝limΔx→0 [2x＋Δx2－7]－2x2－7 Δx ＝limΔx→0 (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点 P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0， 故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)． 将 P(3,9)及 y0＝2x20－7 代入上式， 得 9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)． 解得 x0＝2 或 x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为 8x－y－15＝0 或 16x－y－39＝0. 规律方法 若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据 导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 跟踪演练 2 求过点 A(2,0)且与曲线 y＝1 x 相切的直线方程． 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为 P(x0，y0)，由 y′|x＝x0＝limΔx→0limΔx→0 1 x0＋Δx －1 x0 Δx ＝－1 x20 ， 得所求直线方程为 y－y0＝－1 x20 (x－x0)． 由点(2,0)在直线上，得 x20y0＝2－x0，再由 P(x0，y0)在曲线上，得 x0y0＝1，联立 可解得 x0＝1，y0＝1，所求直线方程为 x＋y－2＝0. 要点三 求切点坐标 例 3 在曲线 y＝x2 上过哪一点的切线， (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6y＋5＝0； (3)与 x 轴成 135°的倾斜角． 解 f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fx Δx ＝limΔx→0 x＋Δx2－x2 Δx ＝2x，设 P(x0，y0)是满足条件 的点． (1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行， 所以 2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即 P(2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直， 所以 2x0·1 3 ＝－1，得 x0＝－3 2 ，y0＝9 4 ， 即 P －3 2 ，9 4 是满足条件的点． (3)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即 2x0＝－1， 得 x0＝－1 2 ，y0＝1 4 ， 即 P －1 2 ，1 4 是满足条件的点． 规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些 信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何 知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练 3 已知抛物线 y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x＋8y－3＝0? 解 设点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴Δy Δx ＝4x0＋2Δx. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于 4x0. 即 f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)． 1．已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 答案 C 解析 f′(2)＝limΔx→0 f2＋Δx－f2 Δx ＝limΔx→0 22＋Δx2－8 Δx ＝limΔx→0 (8＋2Δx)＝8，即 k＝8. 2．若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案 A 解析 由题意，知 k＝y′|x＝0 ＝limΔx→0 0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b Δx ＝1，∴a＝1. 又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选 A. 3．已知曲线 y＝1 2x2－2 上一点 P 1，－3 2 ，则过点 P 的切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135° D．165° 答案 B 解析 ∵y＝1 2x2－2， ∴y′＝limΔx→0 1 2 x＋Δx2－2－ 1 2x2－2 Δx ＝limΔx→0 1 2 Δx2＋x·Δx Δx ＝limΔx→0 x＋1 2Δx ＝x. ∴y′|x＝1＝1.∴点 P 1，－3 2 处切线的斜率为 1，则切线的倾斜角为 45°. 4．已知曲线 y＝f(x)＝2x2＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16.则 P 点坐标为________． 答案 (3,30) 解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)， 则 f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝limΔx→0 2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx Δx ＝4x0＋4， 令 4x0＋4＝16 得 x0＝3，∴P(3,30)． 1．导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函 数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数 y＝f′(x)在 x＝x0 处 的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲 线上，则以该点为切点的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线 上 ， 则 设 出 切 点 (x0 ， f(x0)) ， 表 示 出 切 线 方 程 ， 然 后 求 出 切 点 . 一、基础达标 1．下列说法正确的是( ) A．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则 f′(x0)有可能存在 答案 C 解析 k＝f′(x0)，所以 f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而 当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为 x＝x0. 2．已知 y＝f(x)的图象如图所示，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)