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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(十四)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,
则 q 等于( )
A.1 B.0 C.1 或 0 D.-1
【解析】 因为 Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以 an 为定值,即数列{an}
为常数列,所以 q= an
an-1
=1.
【答案】 A
2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( )
A.1
3 B.-1
3
C.1
9 D.-1
9
【解析】 设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9,
∴ a1+a2+a3=a2+10a1,
a1q4=9,
∴ a1q2=9a1,
a1q4=9,
解得 a1=1
9
,故选 C.
【答案】 C
3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2 倍,一共点 381
盏灯,则底层所点灯的盏数是( )
A.190 B.191 C.192 D.193
【解析】 设最下面一层灯的盏数为 a1,则公比 q=1
2
,n=7,由a1 1-
1
2 7
1-1
2
=
381,
解得 a1=192.
【答案】 C
4.设数列 1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前 n 项和为 Sn,则 Sn
的值为( )
A.2n B.2n-n
C.2n+1-n D.2n+1-n-2
【解析】 法一 特殊值法,由原数列知 S1=1,S2=4,在选项中,满足 S1
=1,S2=4 的只有答案 D.
法二 看通项,an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.
∴Sn=22n-1
2-1
-n=2n+1-n-2.
【答案】 D
5.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7
的等差中项为5
4
,则 S5=( )
A.35 B.33
C.31 D.29
【解析】 设数列{an}的公比为 q,
∵a2·a3=a21·q3=a1·a4=2a1,
∴a4=2.
又∵a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3
=2×5
4
,
∴q=1
2.
∴a1=a4
q3
=16,S5=a11-q5
1-q
=31.
【答案】 C
二、填空题
6.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项
公式 an=________.
【解析】 ∵在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21,
∴a11-43
1-4
=21,
∴a1=1,∴an=4n-1.
【答案】 4n-1
7.设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|=
________.
【解析】 法一 a1+|a2|+a3+|a4|=1+|1×(-2)|+1×(-2)2+|1×(-2)3|=
15.
法二 因为 a1+|a2|+a3+|a4|=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|,数列{|an|}是首项为 1,公
比为 2 的等比数列,故所求代数式的值为1-24
1-2
=15.
【答案】 15
8.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若
Sn=126,则 n=________.
【解析】 ∵a1=2,an+1=2an,
∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
又∵Sn=126,∴21-2n
1-2
=126,∴n=6.
【答案】 6
三、解答题
9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. 【导学号:
05920072】
(1)求{an}的公比 q;
(2)若 a1-a3=3,求 Sn.
【解】 (1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),
由于 a1≠0,故 2q2+q=0.
又 q≠0,从而 q=-1
2.
(2)由已知可得 a1-a1
-1
2 2=3,
故 a1=4.
从而 Sn=
4 1- -1
2 n
1- -1
2
=8
3 1- -1
2 n .
10.(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),
b1+1
2b2+1
3b3+…+1
nbn=bn+1-1(n∈N*).
(1)求 an 与 bn;
(2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.
【解】 (1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(n∈N*).
由题意知:
当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2.
当 n≥2 时,1
nbn=bn+1-bn.
整理得 bn+1
n+1
=bn
n
,
所以 bn=n(n∈N*).
(2)由(1)知 anbn=n·2n,
因此 Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
故 Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
[能力提升]
1.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1(n∈N*),则 a21+a22+…+a 2n等
于( )
A.(2n-1)2 B.1
3(2n-1)2
C.4n-1 D.1
3(4n-1)
【解析】 a1+a2+…+an=2n-1,即 Sn=2n-1,则 Sn-1=2n-1-1(n≥2),则
an=2n-2n-1=2n-1(n≥2),又 a1=1 也符合上式,所以 an=2n-1,a2n=4n-1,所以 a21
+a22+…+a2n=1
3(4n-1).
【答案】 D
2.如图 251,作边长为 3 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,
然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,则前 n 个内切圆的面积和为( )
图 251
A.πa2
3
1- 1
4n B. 1- 1
4n π
C.2 1- 1
4n π D.3 1- 1
4n π
【解析】 根据条件,第一个内切圆的半径为 3
6
×3= 3
2
,面积为3
4π,第二个
内切圆的半径为 3
4
,面积为 3
16π,…,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项
为3
4π,公比为1
4
,故面积之和为
3
4π 1- 1
4n
1-1
4
= 1- 1
4n π.
【答案】 B
3.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵
数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________.
【解析】 每天植树棵数构成等比数列{an},
其中 a1=2,q=2,则 Sn=a11-qn
1-q
=2(2n-1)≥100,即 2n+1≥102,∴n≥6,
∴最少天数 n=6.
【答案】 6
4.(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}
的公比为 q.已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当 d>1 时,记 cn=an
bn
,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意有 10a1+45d=100,
a1d=2,
即 2a1+9d=20,
a1d=2,
解得 a1=1,
d=2
或
a1=9,
d=2
9.
故 an=2n-1,
bn=2n-1
或
an=1
9
2n+79,
bn=9·
2
9 n-1.
(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn=2n-1
2n-1
,
于是 Tn=1+3
2
+ 5
22
+ 7
23
+ 9
24
+…+2n-1
2n-1
,①
1
2Tn=1
2
+ 3
22
+ 5
23
+ 7
24
+…+2n-3
2n-1
+2n-1
2n .②
①-②可得
1
2Tn=2+1
2
+ 1
22
+…+ 1
2n-2
-2n-1
2n
=3-2n+3
2n
,
故 Tn=6-2n+3
2n-1 .
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