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- 2021-06-16 发布
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一、实例探究
2logy x
1
2
logy x 1
2
y
x
2 yx
2、一把长为1的尺子第1次截去它的一半,第2次截去剩余部分的一半,第3次截去
第2次剩余部分的一半, … ,依次截下去,问截的次数 y 与剩下的尺子长度 x之间
的关系是:
1、把一张纸对折剪开,再合起来对折剪开,再一次合起来对折剪开,…,依次剪
下去,剪的次数 y 与纸的张数 x 之间的关系是:
2.2.2对数函数及其性质
一般的,函数
叫做对数函数。
其中x是自变量,定义域是
(1)为什么规定底数 a>0且 a≠1呢?
(2)指数函数的值域是什么? 0,
1、对数函数的定义
0,
0 1log ,ay x a a 且
二、基础知识讲解
Ø思考
Ø 随练:下列函数是对数函数的是( ) D
2 3 2( ) logA y x 1( )( ) log xB y x
2
1
3
( ) logC y x ( ) lnD y x
一般的,函数
叫做对数函数。
其中x是自变量,定义域是
1、对数函数的定义
0,
0 1log ,ay x a a 且
二、基础知识讲解
例1、求下列函数的定义域:
21( ) log ;ay x
2 4( ) log ;ay x
13 16 4( ) log .x
xy
分析:应用对数函数定义中的条件解决问题。
log 0, 1 ,ay x a a 且 0,x
三、举例应用
解: 2 0x 要使函数有意义,则须有
0x 即:
2logay x 的定义域为 0|x x
21( ) log ;ay x
4 0x
4x 解之得:
4 4log |ay x x x 函数 的定义域是
2 4( ) log ;ay x
解:要使函数有意义,则须有
例1、求下列函数的定义域:
三、举例应用
解:要使函数有意义, 则须有
16 4 0
1 0
1 1
x
x
x
解之得
2
1
0
x
x
x
1 0 0 2, , 1 16 4log x
xy 的定义域为
13 16 4( ) log .x
xy
例1、求下列函数的定义域:
三、举例应用
用描点法在同一个直角坐标系中作出下列函数
的图像
2 1
2
log logy x y x ;
2 0 1log ,ay x a a 、对数函数 的且 图像和性质
(1)列表
x 0.5 1 2 4 8 16
y=log2x
1
2
logy x
-1 0 1 2 3 4
-101 -2 -3 -4
二、基础知识讲解
2logy x
1
2
logy x-1
1
1 2 3 4 5 6 7 8 910 x
y
0
(2)描点;
Ø结论:
Øy=logax 与 的图象关于 x轴 对称1log
a
y x
(3)连线
2 0 1log ,ay x a a 、对数函数 的且 图像和性质
二、基础知识讲解
1
2
logy x
2logy x
1
3
logy x
3logy x
思考:观察图象,找出各函数图象的共同特征,分析其不同之处,并归纳其性
质.
1
0
x
y
y f x y f x x 与 的图象关于 轴对称
二、基础知识讲解
二、基础知识讲解
2 0 1log ,ay x a a 、对数函数 的且 图像和性质
图
像
性
质
0< a < 1a >1
0
logay x
1,0
1x
x
y
0
1x
1,0
logay x
y
x
定义域
值域
0,
R
过定点(1,0),即当 x=1时,y=0
单调性 0, 在 上 0, 在 上
当x>1时,y>0,
0< x <1时,y<0;
当x>1时,y<0,
0< x <1时,y>0;
随堂练习
21 03log ( , )
ay x
a
、已知函数 在 上是增函数,则
的取值范围是
2 3 2log ay x 、已知函数 ,则函数过定点
1a
1( ,2)3
23 ( ) 3 log ( 2)f x x x 、函数 的值域是
7[ , )2
例2、溶液酸碱度的测量。
溶液酸碱度是通过PH刻画的。PH的计算公式为PH= - lg[H+],其中[H+]表示
溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。
(1)根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,
说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的PH
二、应用举例
2 log log log
log
a b c
d
y x y x y x
y x
例 、已知 , , ,
的图像如下所示,则各个底数
之间的关系是
10 x
y logay x
logby x
logcy x
logdy x
1
a
b
c d
c d a b
三、举例应用
例2、比较下列各题中两个值的大小:
1 5 1 5
0 4 0 4
3
1 3 4 8 5
2 1 8 2 7
3 5 1 5 9 0 1
4 3
. .
. .
( )log . , log . ;
( )log . , log . ;
( )log . , log . ,
( )log , log
a a a a
分析:紧扣对数函数的单调性,以及底数对图象单调性的影响的结论是解题的
关键。
三、举例应用
3 4 8 5. .且 ,解:
例2、比较下列各题中两个值的大小:
三、举例应用
1 5 1 51 3 4 8 5. .( )log . , log . ;
1 5.logy x 在(0,+ )上是增函数,
1 5 1 53 4 8 5. .log . log . ;
0 4 0 42 1 8 2 7. .( )log . , log . ;
0 4.logy x 在(0,+ )解: 上是减函数, 1 8 2 7. .且 ,
0 4 0 41 8 2 7. .log . log . ;
Ø方法:利用对数函数的单调性比较同底对数值的大小
1
0
5 1 5 9
5 1 5 9
log ( , )
. .
log . log .
a
a a
a
y x
当 时
在
上是增函数,
且
解:
0 1
0
5 1 5 9
5 1 5 9
log
( , )
. .
log . log .
a
a a
a
y x
当 时
函数 在
上是减函数,
且
例2、比较下列各题中两个值的大小:
3 5 1 5 9 0 1( )log . , log . ,a a a a
三、举例应用
解:
3 3 1log log ; 且
例2、比较下列各题中两个值的大小:
34 3( )log , log
三、举例应用
3logy x 在(0,+ )上是增函数,
3 33 3 1log log ; 且 ,
logy x 又 在(0,+ )上是增函数,
3 3log log
3、比较对数值的大小——方法总结
⑴若底数相同,真数不同,则可利用对数函
数的单调性进行比较。
⑵若底数不确定,则须进行分类讨论
⑶若底数不同,真数不同,则可借助中间比
较值“1”来进行比较(有些题目中利用“0”
来进行比较)。
二、基础知识讲解
1、正确理解对数函数的定义;
2、掌握对数函数的图象和性质;
y =log x
a
y =log x
0 0(1,0)
(1,0)
x=1
x=1( a>1) (0< a<1)y y
x x
a
四、小结
1、必做:课本P.74页 A组第7题.
2、选做:
五、作业
2
1 1
2 4
5
2 4
( ) (log ) log
,
f x x x 求函数
在区间 内的最值。
例2、生物机体内碳14的“半衰期”为5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14
的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。
解:依题意可得,生物死亡t年后体内碳14的含量
57301( )2
t
P 则
5730 1
2
logt P
则P=0.767时,有
5730 1
2
log 0.767t
由计算器可得 t≈2193
所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址
四、举例应用
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