【师说系列】2014 届高考数学一轮练之乐 1.1.4 函数的单调性与最 值 文 4页

【师说系列】2014 届高考数学一轮练之乐 1.1.4 函数的单调性与最 值 文 一、选择题 1．(2013·宁夏月考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log 1 2 x B．y＝2x－1 C．y＝x2－1 2 D．y＝－x3 解析：观察四个选项，在(－1,1)内单调递增的只有函数 y＝2x－1 且其在(－1,1)内也有零 点．故选 B. 答案：B 2．函数 f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( ) A. －∞，3 2 B. 3 2 ，＋∞ C. －1，3 2 D. 3 2 ，4 解析：函数 f(x)的定义域是(－1,4 )，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－ x－3 2 2＋25 4 的减区间为 3 2 ，4 ， ∵e＞1，∴函数 f(x)的单调减区间为 3 2 ，4 . 答案：D 3．已知函数 f(x)在区间[a，b]上单调，且 f(a)·f(b)＜0，则方程 f(x)＝0 在区间[a，b] 上( ) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有惟一的实根 解析：∵f(a)·f(b)＜0 且 f(x)在[a，b]上单调，∴由数形结合，可以看出，必有惟一的实 数 x0，使 f(x0)＝0 成立． 答案：D 4．函数 f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数 g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是 ( ) A. 0，1 2 B．(－∞，0)∪ 1 2 ，＋∞ C．[ a，1] D．[ a， a＋1] 解析：y＝logax(0＜a＜1)为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，当 0≤logax≤1 2 ， 即 a≤x≤1 时，g(x)为减函数，故其单调减区间为[ a，1]． 答案：C 5．已知函数 f(x)＝ a－2 x－1，x≤1， logax，x＞1. 若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(2,3] D．(2，＋∞) 解析：要保证函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内 分别单调递增． 若 f(x)＝(a－2)x－1 在区间(－∞，1]上单调递增，则 a－2＞0，即 a＞2. 若 f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 a＞1. 另外，要保证函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0， 即 a≤3.故实数 a 的取值范围为 2＜a≤3. 答案：C 6．(2013·辽宁模拟)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数，且 f(1)＝0，函数 g(x)在(－ ∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且 g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0} 等于( ) A．{x|x≤0 或 1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1 或 x≥4} 解析：画出函数 f(x)和 g(x)的草图如图， 由图可知当 f(x)g(x)≥0 时，x 的取值范围是 x≤0 或 1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0 或 1≤x≤4}，故选 A. 答案：A 二、填空题 7．已知 y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若 f(m－1)＜f(1－2m)，则 m 的取值范围是 __________． 解析：依题意，原不等式等价于 －2＜m－1＜2 －2＜1－2m＜2 m－1＜1－2m ⇒ －1＜m＜3 －1 2 ＜m＜3 2 m＜2 3 ⇒－1 2 ＜m＜2 3 . 答案： －1 2 ，2 3 8．已知下列四个命题：①若 f(x)为减函数，则－f(x)为增函数；②若 f(x)为增函数，则函 数 g(x)＝ 1 f x 在其定义域内为减函数；③若 f(x)与 g(x)均为(a，b)上的增函数，则 f(x)·g(x)也是区间(a，b)上的增函数；④若 f(x)与 g(x)在(a，b)上分别是递增与递减函 数，且 g(x)≠0，则f x g x 在(a，b)上是递增函数．其中正确命题的序号是__________． 解析：①正确；②不正确，可用 y＝x(x≠0)说明，若 f(x)恒大于零(或若 f(x)恒小于零)， 则命题②成立； ③不正确，可用 y＝x(x＞0)与 y＝－1 x (x＞0)说明； ④不正确，可用 y＝x(x＞0)与 y＝－x(x＞0)说明． 答案：① 9．已知函数 f(x)＝ －x2＋4x－10 x≤2 log3 x－1 －6 x＞2 若 f(6－a2)＞f(5a)，则实数 a 的取值 范围是__________． 解析：当 x≤2 时，f1(x)＝－x2＋4x－10 是单调递增函数；当 x＞2 时，f2(x)＝log3(x－1) －6 也是单调递增函数，且 f1(2)＝－22＋4×2－10＝－6，f2(2)＝log3(2－1)－6＝－6， 即 f1(2)＝f2(2)，因此 f(x)在 R 上单调递增，又因为 f(6－a2)＞f(5a)，所以 6－a2＞5a， 解得－6＜a＜1. 答案：－6＜a＜1 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝a－ 1 |x| . (1)求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解析：(1)证明：当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－1 x ， 设 0＜x1＜x2，则 x1x2＞0，x2－x1＞0. f(x1)－f(x2)＝ a－ 1 x1 － a－ 1 x2 ＝ 1 x2 － 1 x1 ＝x1－x2 x1x2 ＜0. ∴f(x1)＜f(x2)，即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意 a－1 x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设 h(x)＝2x＋1 x ，则 a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立． 可证 h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故 a≤h(1)即 a≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． 11．已知函数 f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数 a，b 满足 ab≠0. (1)若 ab＞0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab＜0，求 f(x＋1)＞f(x)时 x 的取值范围． 解析：(1)当 a＞0，b＞0 时，任意 x1，x2∈R，令 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝a(2 1x －2x2) ＋b(3 1x －3 2x )， ∵2 1x ＜2 2x ，a＞0⇒a(2 1x －2 2x )＜0， 3 1x ＜3 2x ，b＞0⇒b(3 1x －3 2x )＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，函数 f(x)在 R 上是增函数． 当 a＜0，b＜0 时，同理，函数 f(x)在 R 上是减函数． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0， 当 a＜0，b＞0 时， 3 2 x＞－ a 2b ，则 x＞log1.5 － a 2b ； 当 a＞0，b＜0 时， 3 2 x＜－ a 2b ，则 x＜log1.5 － a 2b . 12．设函数 f(x)对任意的 x，y，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当 x＞0 时，f(x)＞1. (1)求证：函数 f(x)是 R 上的增函数； (2)若 f(4)＝5，解不等式 f(3t2－t－2)＜3. 解析：(1)方法一：设 x1，x2∈R 且 x1＜x2，则 Δx＝x2－x1＞0， ∴f(Δx)＞1， ∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1＞f(x1)， ∴f(x)是 R 上的增函数． 方法二：f(0)＝f(0)＋f(0)－1，∴f(0)＝1. ∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1＝1. ∴f(－x)＝2－f(x)， 设 x1，x2∈R 且 x1＜x2，∴x2－x1＞0. ∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1 ＝f(x2)＋2－f(x1)－1 ＝f(x2)－f(x1)＋1＞1. ∴f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x)是 R 上的增函数， (2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3. ∴f(3t2－t－2)＜3＝f(2)． 又由(1)的结论知函数 f(x)是 R 上的增函数． ∴3t2－t－2＜2，∴－1＜t＜4 3 .