2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析) 17页

在定义域上单调递减，则实数 a 的范围为 e ， e de ൐ 1 Ͳ 2e 8de 12 2 e e i 已知函数 9. ݔ 1 ݔ 1 D. ݔ 1 2 1 Ͳ C. ݔ 1 2 Ͳ 1 B. ݔ 1 2 1 ᦙ i A. 则 ， i d i ，若 i ，且 ݔ 1 ᦙ i 在平行四边形 ABCD 的边 AD 上一点 E 满足 8. C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 对称，则 p 是 q 的 e i 1 关于直线 e 是偶函数，q：函数 e 1 已知 p： 䁪. e ൐ ൐ 1 D. ൐ e ൐ 1 C. e 댳 댳 1 B. 댳 e 댳 1 A. ，那么 2 댳 1 2e 댳 log 1 log 如果 . C. D. A. B. 的大致图象为 e tሻe e i ሻൌe 函数 െ. 2 1 Ͳ D. 2 1 C. Ͳ 2 A. 2 B. ． Ͳ i ，则 2 1 i ，若 1e 1Ͳe e i log2 已知函数 ݔ. A. 1 B. 2 C. 129 D. 2188 的值为 1 2 ，则 䁪 i 11 e 䁪1 e 䁪 2 Ͳ e 记 s. Ͳ s C. 3i D. Ͳ s A. 3 B. ，则 z 的虚部为 i 2 Ͳ 1െ . dᦙd ᦙ 若复数 z 满足 2. sdݔ D. 䁪d1 C. ݔd䁪 B. sd1 i A. ，则 i xedݔ 댳 e 댳 1e ， i xeds e 댳 䁪e R 是实数集， 1. 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4 月份) 2020 （三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分 ，则直线 AB 的斜率为________． 2 的重心为 A、B 是椭圆 C 上异于 M 的两点，且 ， s 1s d1d i 的左、右焦点，M 是椭圆上位于第一象限的一点， െ i 1 2 9 2 e 分别为椭圆 C： 2 ， 1 已知 1. 的最大值为 10，则 z 的最小值为______． ᦙ i se ，若目标函数   2e Ͳ Ͳ e ݔ e 2 已知满足 1െ. 只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____． 大复兴”新建立 3 个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且 北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟 1ݔ. 上点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为____________ 2 e s s e 1 i 已知曲线 1s. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） s d Ͳ 的单调递增区间是 e D. 是奇函数 e െ C. 1 ൐ 䁪 B. 12 iͲ 1 11 A. 2 댳 .则下列结论正确的是 恒成立，且 e 对 d e d 为实数，若 ，其中 e i sin2e 已知函数 12. 2 1െ Ͳ s D. 2 1െ Ͳ 2C. 6 2 1െB. A. ，则从点 C 经圆锥侧面到点 B 的最短距离为 ‴ i ， i ݔ s 点， 如图，圆锥顶点为 P，底面圆心为 O，过轴 PO 的截面 PAB，C 为 PA 中 11. s 1 D. s C. 2 1 B. 2 Ͳ 1 A. 角三角形，则双曲线的离心率为 为等腰直 12 ，点 P 在 C 上， 2 ， 1 的左右焦点分别为 i 1 ൐ d ൐ 2 2 Ͳ 2 2 e ： 双曲线 1. 2 䁪 Ͳ d D. 2 䁪 1d C. 1d B. 2 䁪 1d A. ；，求直线 AB 的方程 dd i 12 2 若线段 1 ． i 满足 dݔ 上，点 i ݔ 2 e 19. 已知 A，B 两点在抛物线 C： 的余弦值． Ͳ Ͳ 求二面角 2 平面 PBE； ᦙ 证明： 1 面 PAD 是正三角形，E 是 AD 中点． 底面 ABCD，且侧 ，侧面 i 2 中，底面 ABCD 为矩形且 Ͳ 如图，在四棱锥 18. 的取值范围． sሻൌ sin Ͳ 求 Ⅱ 求角 B 的大小； Ⅰ ． 2 Ͳ tሻ Ͳ tሻ i 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 在 1䁪. ？损害 ，请问：商场将奖金数额 n 最高定为多少元，才能使促销方案对商场利益无 ݔ 1 奖中奖的概率都是 奖，则获得数额为 3n 元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n 元的奖金．假设顾客每次抽 规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为 n 元的奖金；若中两次 商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高 60 元， 2 试求选出 3 种商品中至少有一种是家电的概率； 1 21. 五一期间，某商场决定从 2 种服装、3 种家电、4 种日用品中，选出 3 种商品进行促销活动． 上的最小值． Ͳ 1d 在 e ，求 2 e i ln2e s e 20. 设函数 求证：点 N 在一条定直线上． . 设抛物线 C 过 A、B 两点的切线交于点 2 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 e i cos i 1 sin 为参数 ，以坐标原点为极点，x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系． Ⅰ 求曲线 C 的极坐标方程； Ⅱ 设 A，B 为曲线 C 上两点 均不与 O 重合 ，且满足 ‴ i s ，求 d‴d d‴d 的最大值． 23. 若 ൐ ൐ ，求证： 1 Ͳ s ． 4.答案：D 的系数和，属于基础题． 本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式 的值． 1 2 的值，可得 䁪 ，求得 䁪 Ͳ Ͳ s e 1 二项式即 故选：C． ， 1 2 i 129 则 ， i 128 䁪 1 2 䁪 i 1 2 Ͳ 1 i 2 ，可得 e i 则令 ， iͲ 1 䁪 䁪 iͲ 䁪 ， 䁪 iͲ Ͳ s e 1 䁪 i 11 e 䁪1 e 䁪 2 Ͳ e 解析：解：记 3.答案：C 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题． ，由复数相等的条件列式求得 a，b 得答案． i 2 Ͳ 1െ . dᦙd ᦙ ，代入 ᦙ i d 设 故选：A． 的虚部为 3． ᦙ ． i s ， i ݔ ，解得 2 2i2 i 1െ 2 2 ， Ͳ i 2 Ͳ 1െ 2 2 ，得 i 2 Ͳ 1െ . dᦙd ᦙ 由 ， ᦙ i d 解析：解：设 2.答案：A 考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算． 进行补集、交集的运算即可． 故选：C． ． i 䁪d1 ； e 䁪e ，或 i xede 댳 s 解析：解： 1.答案：C 答案与解析】】 解析：由已知得函数的定义域为 Ͳ 1d1 且 Ͳ e i log2 1Ͳ Ͳe 1 Ͳe iͲ log2 1Ͳe 1e iͲ e ，所以函数 e是奇函数，故 Ͳ iͲ iͲ 1 2 ，故选 D． 5.答案：B 解析： 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题． 利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可． 解：函数 e i ሻൌe tሻe e ，定义域关于原点对称，满足函数 Ͳ e iͲ ሻൌe Ͳ tሻe e iͲ e ， 所以函数为奇函数，排除 A、C， 因为 e d 2 时， ሻൌe ൐ ， tሻe e ൐ ，此时 e ൐ ，所以排除 D， 故选：B． 6.答案：D 解析： 本题考查对数函数的性质，属于基础题 . 根据题意，结合对数函数的性质求解即可． 解： log 1 2e 댳 log 1 2 댳 i log 1 21 ， 因为 log 1 2e 为减函数，则 e ൐ ൐ 1 ． 故选 D． 7.答案：C 解析：解：若 e 1 是偶函数，则 Ͳ e 1 i e 1 ，则函数 e 关于直线 e i 1 对称， 则 p 是 q 的充要条件， 故选：C 根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键． 8.答案：A ，解：不妨设 P 在第一象限 列方程得出 a，b，c 的关系，从而得出答案． 12 i 2 根据 本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题． 解析： 10.答案：B 故选 C． 实数 a 的范围为 ． ． 2 䁪 1 ，解得 1 i 1 Ͳ 2 82 1 则 在定义域上单调递减， e 上单调递减， Ͳ d 在 e ， e i 的图象开口向上，对称轴为 e 函数 ， 2 8 Ͳ 2 Ͳ 2e 8 i e Ͳ 2 e i e 时， e1 当 ， e 댳 2 单调递减，则 e ，函数 e 2 e i 时， e ൐ 1 当 ， e de ൐ 1 Ͳ 2e 8de 12 2 e e i 函数 解： ，求解即可． 1 i 1 Ͳ 2 82 1 递减，则 上单调 Ͳ d 在 e 时， e1 ，当 e 댳 2 单调递减， e 时， e ൐ 1 由分段函数的解析式知，当 本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 解析： 9.答案：C ᦙ 本题考查平面向量基本定理及向量的表示． 由向量的减法得 2 1 i ， ݔ 1 ᦙ i 故选：A． ， ݔ 1 2 1 ݔ i 1 2 Ͳ 1 2 1 ᦙ i Ͳ ᦙ i ， 2 1 2 i 1 2 i 1 i 为 AC 的中点， ，F 为 AC 和 BD 的交点， ݔ 1 ᦙ i 解析：解：根据题意得 ：解析 12.答案：D 故选：A． ． i 2 1െ 2 ݔ s 2 2 s 处，则从点 C 经圆锥侧面到点 B 的最短距离为 B 到 ，展开后所得扇形为半圆， ݔ s 则圆锥底面周长为 ， ‴ i 2 s ， ‴ i ， i ݔ s 沿圆锥母线 PA 剪开再展开， 解：如图， 由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解． 本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题． 解析： 11.答案：A 故选：B． ， 舍 iͲ 2 1 或 i 2 1 ，解得 Ͳ 2 Ͳ 1 i 2 ， i 2 Ͳ 2 Ͳ 2 ，即 2 Ͳ 2 i 2 2 i ， 2 2 i ，即 2 i 代入双曲线方程得 e i 把 ， 12 2 ，且 12 i 2 为等腰直角三角形， 12 ． Ͳ sd 或 s ݔ 1d 故答案为 ． Ͳ sd 或 s ݔ 1d 所以点 P 的坐标为 ， Ͳ s 或 e i 1 所以 ， 2e i s e2 由已知有 ， 2e 2 i e 所以 ， 2 e s s e 1 i 又 ， ed 解： 设 本题考查导数的几何意义，设 P 的坐标，然后利用导数的几何意义求解即可． 解析： Ͳ sd 或 s ݔ 1d 13.答案： 故选 D． ； . ， s e 2 Ͳ 2 2 2e 2 Ͳ ； ， Ͳ e Ͳ e ； ， s ൐ 1䁪 i sin െ 2 െ i sin ， s 댳 1䁪 s iͲ sin ݔ䁪 i sin െ 䁪 1 i sin 䁪 ； ， 12 i ሻൌ2 i 11 i 不妨取 . ， i 2 ． 2 댳 sin iͲ ሻൌ 댳 sin2 i ሻൌ ሻൌ ൐ ． ， 2 i i 2 恒成立， e 对 d e d 解： 本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质． 对 D，通过解不等式求单调区间的方法求解． 对 C，根据奇函数定义，验证是否适合； 对 B，代入比较大小即可； 对 A，代入求值即可； 的取值，然后逐条验证． 根据题意首先判断 ， ᦙ i s 2 Ͳ 1 i െ 此时 ， 2d Ͳ 1 ，即 iͲ 1 e i 2 ，得 2e Ͳ Ͳ െ i e i 2 由 的截距最小，此时 z 最小， iͲ se ᦙ 经过点 A 时，直线 iͲ se ᦙ 当直线 ． i െ 则 上， 2e Ͳ Ͳ i 此时 C 在 ， sd1 ，即 i 1 e i s ，解得 e i ݔ se i 1 se i 1由 为 的截距最大，此时 z 最大， iͲ se ᦙ iͲ se ᦙ经过点 C 时，直线 ，则由图象可知当直线 iͲ se ᦙ iͲ se ᦙ平移直线 得 ᦙ i se 由 解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 15.答案：5 ． s 1 故答案为： ． s 1 9 i 1 9 1 9 1 所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为 ， 9 1 ，甲和乙都参加 C 社团的概率为 9 1 同理可得甲和乙都参加 B 社团的概率为 ， 9 1 s i 1 s 1 所以甲和乙都参加 A 社团的概率为 ， s 1 ，乙参加 A 社团的概率为 s 1 ，依题意甲参加 A 社团的概率为 dd 解：记 3 个社团分别为 先得出甲乙参加 A 社团的概率，求出甲乙都参加 A 社团的概率，进而得出答案． 本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题目． 解析： s 1 答案：.14 ， ሻൌ2tሻ Ͳ 1 i 2ሻൌtሻ Ͳ ሻൌ i 即 ， sin i ሻൌ 又 ， 2ሻൌtሻ Ͳ sin i 即 ， 2ሻൌtሻ Ͳ ሻൌtሻ Ͳ ሻൌtሻ i ， 2 Ͳ tሻ Ͳ tሻ i 中， 在 Ⅰ 17.答案：解： ． s ݔ 故答案为： ． s ݔ s i െ Ͳ ݔ 9 െ 12 iͲ e1e2 9 െ e1Ͳe2 iͲ 1Ͳ2 相减得 ， െ i 1 2 2 9 2 e2 ， െ i 1 2 1 9 2 e1 、B 在椭圆 C 上， 又 ． s െ 1 2 iͲ ， e1 e2 i ݔ 则 ， s i s െ 12 ， s i 2 e1e22 由题知 ， e2d2 ， e1d1 设 ． s െ 2d ， 2 12 根据焦半径公式可得 ， 2 s i െ s i 1s d2d i 2 s Ͳ ， s 1s 22d. d1d i 解：易知 到 A、B 的横、纵坐标之和，联想到点差法求出直线 AB 的斜率． ，再结合重心的坐标公式，得 2 12 的长，根据焦半径的公式得到 d2d 根据椭圆的定义求出 本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题． 解析： s ݔ 16.答案： 本题主要考查线性规划的应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 结论． 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到 m 的值．然后即可得到 故答案为：5． 是三角形的内角， ሻൌ ， tሻ i 1 2 ，且 B 是三角形内角， i s ． Ⅱ 由 Ⅰ 可得 sሻൌ sin Ͳ i sሻൌ tሻ i 2ሻൌ ， d 2 s ， d െ ， sin 1 2 d1 ， 2ሻൌ 1d2 ， 即 sሻൌ sin Ͳ 的取值范围是 1d2 ． 解析：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，考查了计算能力 与推理能力，属于中档题． Ⅰ 在 中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得 ሻൌ2tሻ Ͳ 1 i ，故有 tሻ i 1 2 ，由此求得 B 的值． Ⅱ 由 Ⅰ 可得 sሻൌ sin Ͳ i 2ሻൌ ，根据 d 2 s ，利用正弦函数的定义域和值 域求得 sሻൌ sin Ͳ 的取值范围． 18.答案：解： 1 证明： 侧面 是正三角形，E 是 AD 中点， ᦙ ， 侧面 底面 ABCD，侧面 底面 i ， ᦙ 底面 ABCD， ᦙ ᦙ ， 底面 ABCD 是矩形且 i 2 ， ᦙ i ᦙ i i ， i 2e ݔ ，所以直线的方程 舍 iͲ 䁪 2 ， i 2 2 解得： ， ݔ i 12 2 2 ݔ 2 1 ，即 dd i 12 2 又 ， ݔ 2 ݔ 2 Ͳ ݔe1e2 i 1 2 e1 e2 2 dd i 1 ， e1e2 iͲ 1 ， e1 e2 i ݔ ， ݔ ൐ 2 Ͳ ݔ Ͳ 1 i 1 2 i Ͳ ݔ ， Ͳ ݔe Ͳ 1 i 2 e 联立得 i ݔ 2 e 与 i e ݔ ： ， e2d2 ， e1d1 设 1 19.答案：解： 的余弦值． Ͳ Ͳ 用向量法能求出二面角 以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直角坐标系，利 2 平面 PBE． ᦙ 明 ，由此能证 ᦙ ᦙ ， ᦙ i ᦙ i i ， ᦙ ᦙ 底面 ABCD， ᦙ ，从而 ᦙ 推导出 1 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 ． ݔ 1 d ddൌd iͲ d ൌd tሻ iͲ 的余弦值为： Ͳ Ͳ 二面角 为钝角， ，则 的平面角为 Ͳ Ͳ 设二面角 ， ൌ i sdd1 ，得 i 1 取 ， ൌ i Ͳ s i ൌ i Ͳ s i 则 ， b， ൌ i d 设平面 PCD 的法向量 ， i d sd1 ，得 ᦙ i 1 取 ， i e Ͳ sᦙ i iͲ e Ͳ sᦙ i 则 ， ᦙ y， i ed 设平面 PCB 的法向量 ， Ͳ s 1， i Ͳ 1d ， Ͳ s 1， i 1d ， Ͳ s 0， i 1d ， 1， Ͳ 1d ， s 0， d ， 1， 1d ， 0， 1d ，则点 i 2 i 2 设 解：以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直角坐标系， 2 平面 PBE． ᦙ ， ᦙ ᦙ i ᦙ ， ᦙ ᦙ ， ᦙ i 9 ， ᦙ ᦙ i 9 ， ᦙ i ᦙ i ݔെ ； ݔ 9 ݔ i 1 1 Ͳ 2 ݔ 1 2 i sൌ i s ； ݔ 2䁪 i 2 ݔ 1 1 Ͳ 1 ݔ 1 1 i ൌ i s 同理 ， ݔ 2䁪 i s ݔ 1 1 Ͳ ݔ 1 i i s 所以 表示顾客在三次抽奖都没有获奖， i 单元：元 其所有可能的取值为 0，n，3n，6n； ， 设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 2 ； 21 1 21 i െ i 1 Ͳ s 9 s i 1 Ͳ 所以选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 种， s 选出的 3 种商品中，没有家电的选法有 种不同的选法， s 9 从 2 种服装、3 种家电、4 种日用品中，选出 3 种商品，一共有 设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A， 1 21.答案：解： ． ݔ 1 2 i ln2 1 Ͳ 上的最小值为 Ͳ 1d e在 上递增， 2 d 1 Ͳ 上递减，在 2 1 Ͳ 1d Ͳ 在 e 恒成立， e ൐ 时， 2 1 e ൐Ͳ e 댳 恒成立；当 时， 2 1 Ͳ 1 댳 e 댳Ͳ ，当 2es 22e1e1 e i ， 2 d s Ͳ 的定义域为 e 解析：依题意知函数 ． ݔ 1 ln2 20.答案： 本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题 上． iͲ ݔ 定直线 先表示出过点 A 的切线和过点 B 的切线，然后两直线联立可求出点 N 的坐标，即可得到点 N 在 2 算即可 ，根据弦长公式计 e1e2 iͲ 1 ， e1 e2 i ݔ ，根据韦达定理表示出 e2d2 ， e1d1 设 1 解析： 上． iͲ ݔ ，所以点 N 在定直线 2 d Ͳ ݔ e1e2 得点 联立 ， ， 2 ݔ e2 1 2 e2e Ͳ 1 i 过点 B 的切线： ， ， 2 ݔ e1 1 2 e1e Ͳ 1 2 e1e Ͳ e1 1 i 1 i 证明：过点 A 的切线： 2 i 1 ， i 2 ，即 Ͳ 1 Ͳ i i ，当且仅当 Ͳ s 1 ， Ͳ i s 1 Ͳ s Ͳ s 1 Ͳ ， Ͳ ൐ 1 ， ൐ ， Ͳ ൐ ， ൐ ൐ ， Ͳ 1 Ͳ i Ͳ 1 解析： 23.答案：见解析 换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变 利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果． Ⅱ 直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． Ⅰ 解析： ． 2 s 的最大值为 d‴d d‴d 时， s i 当 ． s i 2 ssin d‴d d‴d i 1 2 i 2ሻൌ 2ሻൌ 所以 ， s 2 i 2ሻൌ ， 1 i 2ሻൌ 故 ， s 2d ，则 1d 设 ᦙᦙ ． i 2ሻൌ ，转换为极坐标方程为 Ͳ 2 i 2 2 e 整理得 ， i 1 2 1 Ͳ 2 e ，转换为直角坐标方程为 为参数 i 1 sin e i cos 曲线 C 的参数方程为 ᦙ 22.答案：解： 算数学期望，利用数学期望值列不等式，求出奖金数额 n 的最高值． 的所有可能取值，求出对应的概率值，计 ，写出 设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 2 设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A，利用对立事件的概率求出 A 的概率值； 1 解析：本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． 所以 n 最高定为 64 元，才能使促销方案对商场利益无损害． ， ൌ ݔ ，解得 1 1െൌ 由 ， 1 1െൌ ݔ i 1 ݔ ൌ 9 ݔ sൌ 2䁪 ݔ ൌ 2䁪 ᦙ i 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是： ； ݔ 1 i ݔ 1 1 Ͳ s ݔ 1 s i ൌ i s 时等号成立．