高考数学总复习第七章不等式、推理与证明课时规范练32二元一次不等式组与简单的线性规划问题理新人教A版 9页

课时规范练 32 二元一次不 等式(组)与简单的线性规划问题 一、基础巩固组 1.(2017 北京,理 4)若 x,y 满足 则 x+2y 的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.9 2.(2017 天津,理 2)设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 z=x+y 的最大值为( ) A. B.1 C. D.3 3.(2017 山东,理 4)已知 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最大值是( ) A.0 B.2 C.5 D.6 4.给出平面区域如图所示,其中 A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的 最优解有无穷多个,则 a 的值是( ) A. B. C.2 D. 5.(2017 江西新余一中模拟七,理 6)若实数 x,y 满足条件 则 z=- 的最大值 为( ) A.- B.- C.- D.-1 6.不等式组 的解集记为 D,有下面四个命题: p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1, 其中的真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 7.(2017 河北武邑中学一模,理 5)若变量 x,y 满足不等式组 且 z=3x-y 的最大值为 7,则 实数 a的值为 ( ) A.1 B.7 C.-1 D.-7 〚导学号 21500734〛 8.(2017 全国Ⅲ,理 13)若 x,y 满足约束条件 则 z=3x-4y 的最小值为 . 9.已知实数 x,y 满足条件 若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则其最大值 为 . 10.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 所表示的平面区域上一动点,则|OM| 的最小值是 . 11.(2017 山东潍坊二模,理 9 改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产 1 吨甲种肥料和生 产 1 吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产 1 吨甲种肥料产生的利润 2 万元,生产 1 吨乙种肥料产生的利润为 3 万元,现有 A 种原料 20 吨,B 种原料 36 吨,C 种原料 32 吨,在此基础上 安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为 万元. 原料 肥料 A B C 甲 2 4 2 乙 4 4 8 〚导学号 21500735〛 二、综合提升组 12.(2017 山东潍坊一模,理 9)设变量 x,y 满足约束条件 若目标函数 z=a|x|+2y 的 最小值为-6,则实数 a 等于( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 13.若 x,y 满足约束条件 目标函数 z=x+y 的最大值为 2,则实数 a的值为( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 14.(2017 河南新乡二模,理 10)若实数 x,y 满足 且 z=mx-y(m<2)的最小值为- ,则 m等于( ) A. B.- C.1 D. 15.设 x,y 满足约束条件 若 z= 的最小值为 ,则 a 的值为 . 三、创新应用组 16.(2017 山西晋中一模,理 10)在平面直角坐标系中,不等式组 (r 为常数)表示的平面 区域的面积为π,若 x,y 满足上述约束条件,则 z= 的最小值为 ( ) A.-1 B.- C. D.- 〚导学号 21500736〛 17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车 皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3万元.分别用 x,y 表示 计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. 〚导学号 21500737〛 课时规范练 32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.D 由题意画出可行域(如图). 设 z=x+2y,则 z=x+2y 表示斜率为- 的一组平行线,当过点 C(3,3)时,目标函数取得最大值 zmax=3+2×3=9.故选 D. 2.D 由约束条件可得可行域如图阴影部分所示. 目标函数 z=x+y 可化为 y=-x+z.作直线 l0:y=-x,平行移动直线 y=-x,当直线过点 A(0,3)时,z 取得最大值,最大值为 3.故选 D. 3.C 画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示. 由目标函数 z=x+2y 得直线 l:y=- x+ z,当 l 经过点 C(-3,4)时,z 取最大值,且 zmax=-3+2×4=5. 故选 C. 4.B 直线 y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线 y=-ax 平移到直线 AC 位置时取得最大值的最优解有 无穷多个. ∵kAC=- , ∴-a=- ,即 a= 5.C 由约束条件 作出可行域如图阴影部分所示. ∵z=- ,∴4x+3y 取得最大值时,z 取得最大值. 与 4x+3y=0 平行的直线经过点 A 时,4x+3 y 取得最大值,故 z最大, 由 得 A(1,2),即 zmax=- =- 故选 C. 6.B 画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示. 作直线 l0:y=- x,平移 l0,当直线经过点 A(2,-1)时,x+2y 取最小值,此时(x+2y)min=0.故 p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2 为真命题.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2 为真命题.故选 B. 7.A 作出直线 y=2,x+y=1,再作直线 l:3x-y =0,而向下平移直线 l:3x-y=0 时,z 增大,而直线 x-y=a 的斜率为 1,因此直线 l 过直线 x-y=a 与 y=2 的交点 A时,z 取得最大值,由 得 A(3,2), 所以 a=3-2=1,故选 A. 8.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点 A(1,1)处取得 最小值 z=3×1-4×1=-1. 9.10 画出 x,y 满足的可行域如下图,可得直线 x=2 与直线-2x+y+c=0 的交点 A 使目标函数 z=3x+y 取得最小值 5,故由 解得 代入 3x+y=5 得 6+4-c=5,即 c=5. 由 得 B(3,1). 当过点 B(3,1)时,目标函数 z=3x+y 取得最大值,最大值为 10. 10 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示. 由图可知|OM|的最小值即为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin= 11.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为 x,y 吨, 则 x,y 满足的条件关系式为 再设生产甲乙两种肥料的利润之和为 z,则 z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图: 联立 解得 A(8,1), 作出直线 2x+3y=0,平移至点 A时,目标函数 z=2x+3y 有最大值为 19. ∴当生产甲种肥料 8吨,乙种肥料 1 吨时,利润最大,最大利润为 19 万元. 12.D 变量 x,y 满足约束条件 的可行域如图. 由目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为-6,可知目标函数过点 B, 由 解得 B(-6,0),-6=a|-6|,解得 a=-1,故选 D. 13.A 作出不等式组 对应的平面区域如图(阴影部分). ∵目标函数 z=x+y 的最大值为 2, ∴z=x+y=2. 作出直线 x+y=2,由图象知 x+y=2 与平面区域相交于点 A. 由 即 A(1,1). 可知点 A(1,1)在直线 3x-y-a=0 上, 即 3-1-a=0,解得 a=2.故选 A. 14.C 变量 x,y 满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示,z=mx-y(m<2)的最小值为- , 可知目标函数过点 A时取得最小值,由 解得 A , 所以- m-3,解得 m=1,故选 C. 15.1 =1+ ,而 表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,易知 a>0,故 作出可行域如图阴影部分, 由题意知 的最小值是 ,即 a=1. 16.D ∵不等式组 (r 为常数)表示的平面区域的面积为π, ∴圆 x2+y2=r2 的面积为 4π,则 r=2.由约束条件作出可行域如图, z= =1+ ,而 的几何意义为可行域内的一个动点与定点 P(-3,2)连线的斜率. 设过点 P 的圆的切线的斜率为 k,则切线方程为 y-2=k(x+3),即 kx-y+3k+2=0. 由 =2,解得 k=0 或 k=- ,∴z= 的最小值为 1- =- 故选 D. 17.解 (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分: 图 1 图 2 (2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y. 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为- ,随 z 变化的一族平行直线, 为直线在 y 轴 上的截距,当 取最大值时,z 的值最大.又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的点 M时,截距 最大,即 z 最大. 解方程组 得点 M的坐标为(20,24). 所以 zmax=2×20+3×24=112. 即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元.