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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(五)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知方程 x2sin A+2xsin B+sin C=0 有重根,则△ABC 的三边 a,b,c 的
关系满足( )
A.b=ac B.b2=ac
C.a=b=c D.c=ab
【解析】 由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,即 sin2B=sin Asin C,
∴b2=ac.
【答案】 B
2.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则角 A 的对边的长为( )
A. 57 B. 37 C. 21 D. 13
【解析】 ∵S△ABC=1
2bcsin A=1
2
×1×c×sin 60°= 3,∴c=4.由余弦定理 a2
=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×1×4×1
2
=13.
∴a= 13.
【答案】 D
3.在△ABC 中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则此三角形的外接圆的半径 R=( )
A.1
2 B.1
C.2 2 D.5 2
2
【解析】 S△ABC=1
2acsin B= 2
4 c=2,∴c=4 2.
b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2
2
=25,
∴b=5.∴R= b
2sin B
= 5
2× 2
2
=5 2
2 .
【答案】 D
4.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( )
A. 3
2 B.3 3
2
C. 3+ 6
2 D. 3+ 39
4
【解析】
在△ABC 中,由余弦定理可知:
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,
即 7=AB2+4-2×2×AB×1
2.
整理得 AB2-2AB-3=0.
解得 AB=-1(舍去)或 AB=3.
故 BC 边上的高 AD=AB·sin B=3×sin 60°=3 3
2 .
【答案】 B
5.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若三边的长为连续
的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7
C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【解析】 由题意知:a=b+1,c=b-1,
所以 3b=20acos A=20(b+1)·b2+c2-a2
2bc
=20(b+1)·b2+b-12-b+12
2bb-1
,
整理得 7b2-27b-40=0,
解之得:b=5(负值舍去),可知 a=6,c=4.
结合正弦定理可知 sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.
【答案】 D
二、填空题
6.在△ABC 中,B=60°,AB=1,BC=4,则 BC 边上的中线 AD 的长为 .
【解析】 画出三角形知 AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos 60°=3,∴AD= 3.
【答案】 3
7.有一三角形的两边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角α的余弦值是方程 5x2-7x
-6=0 的根,则此三角形的面积是 cm2.
【解析】 解方程 5x2-7x-6=0,得 x=2 或 x=-3
5
,
∵|cos α|≤1,∴cos α=-3
5
,sin α=4
5.
故 S△=1
2
×3×5×4
5
=6(cm2).
【答案】 6
8.(2016·郑州模拟)在△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积
为 .
【解析】 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,
即 49=a2+25-2×5×acos 120°.
整理得 a2+5a-24=0,解得 a=3 或 a=-8(舍).
∴S△ABC=1
2acsin B=1
2
×3×5sin 120°=15 3
4 .
【答案】 15 3
4
三、解答题
9.已知△ABC 的三内角满足 cos(A+B)cos(A-B)=1-5sin2C,求证:a2+b2
=5c2. 【导学号:05920063】
【证明】 由已知得 cos2Acos2B-sin2Asin2B=1-5sin2C,
∴(1-sin2A)(1-sin2B)-sin2Asin2B=1-5sin2C,
∴1-sin2A-sin2B=1-5sin2C,
∴sin2A+sin2B=5sin2C.
由正弦定理得,所以
a
2R 2+
b
2R 2=5
c
2R 2,
即 a2+b2=5c2.
10.(2014·全国卷Ⅱ)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD
=DA=2.
(1)求 C 和 BD;
(2)求四边形 ABCD 的面积.
【解】 (1)由题设及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ②
由①,②得 cos C=1
2
,故 C=60°,BD= 7.
(2)四边形 ABCD 的面积
S=1
2AB·DAsin A+1
2BC·CDsin C
=
1
2
×1×2+1
2
×3×2 ·sin 60°=2 3.
[能力提升]
1.已知锐角△ABC 中,|AB
→
|=4,|AC
→
|=1,△ABC 的面积为 3,则AB
→
·AC
→
的
值为( )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
【解析】 由题意 S△ABC=1
2|AB
→
||AC
→
|sin A= 3,
得 sin A= 3
2
,又△ABC 为锐角三角形,
∴cos A=1
2
,∴AB
→
·AC
→
=|AB
→
||AC
→
|cos A=2.
【答案】 A
2.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B·cos C,且 tan B·tan C=1- 2,则
角 A 的值为( )
A.π
4 B.π
3 C.π
2 D.3π
4
【解析】 由题意知,sin A=- 2cos B·cos C=sin(B+C)=sin B·cos C+cos
B·sin C,在等式- 2cos B·cos C=sin B·cos C+cos B·sin C 两边除以 cos B·cos C 得
tan B+tan C=- 2,tan(B+C)= tan B+tan C
1-tan Btan C
=-1=-tan A,所以角 A=π
4.
【答案】 A
3.(2015·天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已
知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-1
4
,则 a 的值为 .
【解析】 在△ABC 中,由 cos A=-1
4
可得 sin A= 15
4
,
所以有
1
2bc× 15
4
=3 15,
b-c=2,
a2=b2+c2-2bc× -1
4 ,
解得
a=8,
b=6,
c=4.
【答案】 8
4.(2015·陕西高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m
=(a, 3b)与 n=(cos A,sin B)平行.
(1)求 A;
(2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积.
【解】 (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0,
由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0,
又 sin B≠0,从而 tan A= 3.
由于 00,所以 c=3.
故△ABC 的面积为 1
2bcsin A=3 3
2 .
法二 由正弦定理,得 7
sin π
3
= 2
sin B
,从而 sin B= 21
7 .
又由 a>b,知 A>B,所以 cos B=2 7
7 .
故 sin C=sin(A+B)=sin B+π
3
=sin Bcos π
3
+cos Bsin π
3
=3 21
14 .
所以△ABC 的面积为 1
2absin C=3 3
2 .
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