高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案 19页

数列求通项公式的方法 一、叠加法 1．适用于： 1 ( )n na a f n+ = + ----------这是广义的等差数列 累加法是最基 本的两个方法之一。 2．若 1 ( )n na a f n   ( 2)n  ， 则 2 1 3 2 1 (1) (2) ( )n n a a f a a f a a f n         两边分别相加得 1 1 1 ( ) n n k a a f k     例 1 已知数列{ }na 满足 1 12 1 1n na a n a    ， ，求数列{ }na 的通项公式。 解：由 1 2 1n na a n    得 1 2 1n na a n    则 1 1 2 3 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [2( 1) 1] [2( 2) 1] (2 2 1) (2 1 1) 1 2[( 1) ( 2) 2 1] ( 1) 1 ( 1)2 ( 1) 12 ( 1)( 1) 1 n n n n na a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n                                                 所以数列{ }na 的通项公式为 2 na n 。 例 2.已知数列 }{ na 中, 0na 且 )(2 1 n nn a naS  ,求数列 }{ na 的通项公式. 解:由已知 )(2 1 n nn a naS  得 )(2 1 1 1    nn nnn SS nSSS , 化简有 nSS nn   2 1 2 ,由类型(1)有 nSSn  322 1 2 , 又 11 aS  得 11 a ,所以 2 )1(2  nnSn ,又 0na , 2 )1(2  nnsn , 则 2 )1(2)1(2  nnnnan 练习 1，已知数列 na 的首项为 1，且 * 1 2 ( )n na a n n N    写出数列 na 的通项 公式. 答案： 12  nn 练习 2.已知数列 }{ na 满足 31 a ， )2()1( 1 1   nnnaa nn ，求此数列的通项公 式. 答案：裂项求和 14na n   练习 3. 已知数列 na 满足 2 1 1 a ， nnaa nn  21 1 ，求 na 。 解：由条件知： 1 11 )1( 11 21    nnnnnn aa nn 分别令 )1(,,3,2,1  nn ，代入上式得 )1( n 个等式累加之，即 )()()()( 1342312  nn aaaaaaaa )1 1 1()4 1 3 1()3 1 2 1()2 11( nn  所以 naan 111  2 1 1 a ， nnan 1 2 3112 1  评注：已知 aa 1 , )(1 nfaa nn  ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次 函数、指数函数、分式函数，求通项 na . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、叠乘法 1.适用于： 1 ( )n na f n a  ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若 1 ( )n n a f na   ，则 3 12 1 2 (1) (2) ( )n n a aa f f f na a a   ， ， ， 两边分别相乘得， 1 1 11 ( ) n n k a a f ka     例 3. 已知数列 na 满足 3 2 1 a ， nn an na 11  ，求 na 。 解：由条件知 1 1  n n a a n n ，分别令 )1(,,3,2,1  nn ，代入上式得 )1( n 个等式累乘之，即 13 4 2 3 1 2   n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1  na an 1 1  又 3 2 1 a ， nan 3 2 练习 1.已知数列{ }na 满足 1 12( 1)5 3n n na n a a    ， ，求数列{ }na 的通项公式。 解：因为 1 12( 1)5 3n n na n a a    ， ，所以 0na  ，则 1 2( 1)5nn n a na    ，故 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 1 2 [2( 1 1)5 ][2( 2 1)5 ] [2(2 1) 5 ][2(1 1) 5 ] 3 2 [ ( 1) 3 2] 5 3 3 2 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a aa aa a a a n n n n n                                                所以数列{ }na 的通项公式为 ( 1) 1 23 2 5 !. n n n na n      练习 2.设 na 是首项为 1 的正项数列，且  01 1 22 1   nnnn aanaan （ n =1，2， 3，…），则它的通项公式是 na =________. 解：已知等式可化为：   0)1()( 11   nnnn naanaa  0na ( *Nn )(n+1) 01  nn naa , 即 1 1  n n a a n n  2n 时， n n a a n n 1 1    1 1 2 2 1 1 aa a a a a aa n n n n n      = 12 1 1 21   n n n n = n 1 . 评注：本题是关于 na 和 1na 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求 根公式）得到 na 与 1na 的更为明显的关系式，从而求出 na . 练习.已知 1,1 11  annaa nn ,求数列{an}的通项公式. 答案： na )1()!1( 1  an -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 ,11  nnaa nn 转化为 ),1(11  nn ana 若令 1 nn ab ,则问题进一步转化为 nn nbb 1 形式，进而应 用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 1 ( )n na qa f n   基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是 自然数集的一个函数。 1．形如 0(,1  cdcaa nn ,其中 aa 1 )型 （1）若 c=1 时，数列{ na }为等差数列; （2）若 d=0 时，数列{ na }为等比数列; （3）若 01  且dc 时，数列{ na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构 造辅助数列来求. 待定系数法：设 )(1   nn aca , 得 )1(1  ccaa nn ,与题设 ,1 dcaa nn  比较系数得 dc  )1( ,所以 )0(,1  cc d 所以有： )1(1 1   c dacc da nn 因此数列    1c da n 构成以 11  c da 为首项，以 c 为公比的等比数列， 所以 1 1 )1(1  n n cc dac da 即： 1)1( 1 1   c dcc daa n n . 规律：将递推关系 dcaa nn 1 化为 )1(11  c dacc da nn ,构造成公比为 c 的等比数列 }1{  c dan 从而求得通项公式 )1(1 1 1 1    c dacc da n n 例 4.已知数列{ }na 中， 1 11, 2 1( 2)n na a a n    ，求数列 na 的通项公式。 解： 12 1( 2),n na a n   11 2( 1)n na a     又  1 1 2, 1na a    是首项为 2，公比为 2 的等比数列 1 2n na   ，即 2 1n na   四．逐项相减法（逐差法 1）：有时我们从递推关系 dcaa nn 1 中把 n 换成 n-1 有 dcaa nn  1 ,两式相减有 )( 11   nnnn aacaa 从而化为公比为 c 的等比数 列 }{ 1 nn aa  ,进而求得通项公式. )( 121 aacaa n nn  ,再利用类型(1)即可求 得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例 5 已知数列{ }na 中， 1 11, 2 1( 2)n na a a n    ，求数列 na 的通项公式。 解： 12 1( 2),n na a n   1 2 1n na a   两式相减得 1 12( )( 2)n n n na a a a n     ，故数列 1n na a  是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的…… 练习．已知数列 }{ na 中， ,2 1 2 1,2 11   nn aaa 求通项 na 。 答案： 1)2 1( 1  n na 2．形如： n nn qapa 1 (其中 q 是常数，且 n  0,1) ①若 p=1 时，即： n nn qaa 1 ，累加即可. ②若 1p 时，即： n nn qapa 1 ， 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 1np .目的是把所求数列构造成等差 数列 即： n n n n n q p pq a p a )(1 1 1   ,令 n n n p ab  ，则 n nn q p pbb )(1 1  ,然后类型 1，累 加求通项. ii.两边同除以 1nq . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： qq a q p q a n n n n 1 1 1   , 令 n n n q ab  ,则可化为 qbq pb nn 1 1  .然后转化为类型 5 来解， iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设 )(1 1 n n n n papqa     .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求 p  q，否则待定系数法会失效。 例 6 已知数列{ }na 满足 1 1 12 4 3 1n n na a a     ， ，求数列 na 的通项公式。 解法一（待定系数法）：设 1 1 1 23 ( 3n n n na a         )，比较系数得 1 24, 2    ， 则数列 14 3n na   是首项为 1 1 1 4 3 5a     ，公比为 2 的等比数列， 所以 1 14 3 5 2n n na       ，即 1 14 3 5 2n n na      解法二（两边同除以 1nq ）： 两边同时除以 13n 得： 1 1 2 2 4 3 3 3 3 n n n n a a     ，下面解法 略 解法三（两边同除以 1np ）： 两边同时除以 12 n 得： n n n n n aa )2 3(3 4 22 1 1   ，下面解 法略 练习. 已知数列 na 中， 6 5 1 a , 1 1 )2 1(3 1    n nn aa ，求 na 。 解：在 1 1 )2 1(3 1    n nn aa 两边乘以 12 n 得： 1)2(3 22 1 1    n n n n aa 令 n n n ab  2 ，则 13 2 1  nn bb ,应用例 7 解法得： n nb )3 2(23 所以 nn n n n ba )3 1(2)2 1(32  3．形如 bknpaa nn 1 (其中 k,b 是常数，且 0k ) 方法 1：逐项相减法（逐差法） 方法 2：待定系数法 通过凑配可转化为 ))1(()( 1 ynxapyxna nn   ; 解题基本步骤： 1、确定 ( )f n =kn+b 2、设等比数列 )( yxnab nn  ，公比为 p 3、列出关系式 ))1(()( 1 ynxapyxna nn   ,即 1 nn pbb 4、比较系数求 x,y 5、解得数列 )( yxnan  的通项公式 6、解得数列 na 的通项公式 例 7 在数列 }{ na 中， ,23,1 11 naaa nn   求通项 na .（逐项相减法） 解：， ,231 naa nn  ①  2n 时， )1(23 1   naa nn ， 两式相减得 2)(3 11   nnnn aaaa .令 nnn aab  1 ,则 23 1  nn bb 利用类型 5 的方法知 235 1  n nb 即 135 1 1    n nn aa ② 再由累加法可得 2 132 5 1   na n n . 亦可联立 ① ②解出 2 132 5 1   na n n . 练习. 在数列{ }na 中， 362,2 3 11   naaa nn ,求通项 na .（待定系数法） 解：原递推式可化为 ynxayxna nn   )1()(2 1 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 12  nn bb 所以 nb 是一个等比数列，首项 2 99611  nab ,公比为 2 1 . 1)2 1(2 9  n nb 即： n n na )2 1(996  故 96)2 1(9  na n n . 5.形如 2 1 n n na pa qa   时将 na 作为 ( )f n 求解 分析：原递推式可化为 2 1 1( )( ) n n n na a p a a        的形式，比较系数可求 得 ，数列 1n na a  为等比数列。 例 8 已知数列{ }na 满足 2 1 1 25 6 , 1, 2n n na a a a a      ，求数列{ }na 的通项公式。 解：设 2 1 1(5 )( )n n n na a a a        比较系数得 3   或 2   ，不妨取 2   ，（取-3 结果形式可能不同，但本质 相同） 则 2 1 12 3( 2 )n n n na a a a     ，则 1 2n na a  是首项为 4，公比为 3 的等比数列 1 1 2 4 3n n na a      ，所以 1 14 3 5 2n n na      练习 1.数列{ }na 中，若 2,8 21  aa ,且满足 034 12   nnn aaa ,求 na . 答案： n na 311 . 练习 2.已知数列 :,}{ 且满足的各项都是正数na Nnaaaa nnn   ),4(2 1,1 10 ， 求数列 }{ na 的通项公式 an. 解： ],4)2([2 1)4(2 1 2 1  nnnn aaaa 所以 2 1 )2()2(2  nn aa nn nnnnnnn bbbbbab 22212 1 222 2 2 1 12 )2 1()2 1(2 1)2 1(2 1 2 1,2    则令 又 bn=－1，所以 1212 )2 1(22,)2 1(   nn nnn bab 即 . 方法 2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 c nn b ，则 c 2 12 1  nn c ,转化为上面类型（1）来解 五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例 9 已知数列{ }na 满足 1 1 2 , 12 n n n aa aa   ，求数列{ }na 的通项公式。 解：求倒数得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,2 2n n n n n na a a a a a              为等差数列，首项 1 1 1a  ， 公差为 1 2 ， 1 1 2( 1),2 1n n n aa n       六、对数变换法 适用于 r nn paa 1 (其中 p,r 为常数)型 p>0， 0na 例 10. 设正项数列 na 满足 11 a ， 2 12  nn aa （n≥2）.求数列 na 的通项公 式. 解：两边取对数得： 1 22 log21log  nn aa ， )1(log21log 1 22  nn aa ，设 1log 2  na nb ， 则 12  nn bb  nb 是以 2 为公比的等比数列， 11log1 21 b 11 221   nn nb ， 1 2 21log  nan ， 12log 1 2  nan ，∴ 12 1 2   n na 练习 数列 na 中， 11 a ， 12  nn aa （n≥2），求数列 na 的通项公式. 答案： n na  2222 例 11 已知数列{ }na 满足 5 1 2 3n n na a    ， 1 7a  ，求数列{ }na 的通项公式。 解：因为 5 1 12 3 7n n na a a    ， ，所以 10 0n na a  ， 。 两边取常用对数得 1lg 5lg lg3 lg 2n na a n    设 1lg ( 1) 5(lg )n na x n y a xn y       （同类型四） 比较系数得， lg3 lg3 lg 2,4 16 4x y   由 1 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg 1 lg7 1 04 16 4 4 16 4a           ，得 lg3 lg3 lg 2lg 04 16 4na n    ， 所以数列 lg3 lg3 lg 2{lg }4 16 4na n   是以 lg3 lg3 lg 2lg7 4 16 4    为首项，以 5 为公比 的等比数列，则 1lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg (lg7 )54 16 4 4 16 4 n na n        ，因此 1 1 1 1 11 1 1 116 164 4 4 4 1 11 1 1 516 164 4 4 4 5 4 1 5 1 5 1 16 4 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg (lg7 )54 16 4 4 6 4 [lg(7 3 3 2 )]5 lg(3 3 2 ) lg(7 3 3 2 ) lg(3 3 2 ) lg(7 3 2 ) n n n n n n n n n n a n                                 则 1 1 5 4 1 5 1 5 16 47 3 2 n n n n na         。 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 12 已知数列{ }na 满足 1 1 1 (1 4 1 24 ) 116n n na a a a     ， ，求数列{ }na 的通项 公式。 解：令 1 24n nb a  ，则 21 ( 1)24n na b  代入 1 1 (1 4 1 24 )16n n na a a     得 2 2 1 1 1 1( 1) [1 4 ( 1) ]24 16 24n n nb b b      即 2 2 14 ( 3)n nb b   因为 1 24 0n nb a   ， 则 12 3n nb b   ，即 1 1 3 2 2n nb b   ， 可化为 1 13 ( 3)2n nb b    ， 所以{ 3}nb  是以 1 13 1 24 3 1 24 1 3 2b a         为首项，以 2 1 为公比的等 比数列，因此 1 21 13 2( ) ( )2 2 n n nb     ，则 21( ) 32 n nb   ，即 211 24 ( ) 32 n na    ， 得 2 1 1 1( ) ( )3 4 2 3 n n na    。 八、逐差法 2（逐项相减法） 1、递推公式中既有 nS ，又有 na 分析：把已知关系通过 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n     转化为数列 na 或 nS 的递推关系，然 后采用相应的方法求解。 例 13 已知数列{ }na 的各项均为正数，且前 n 项和 nS 满足 1 ( 1)( 2)6n n nS a a   ， 且 2 4 9, ,a a a 成等比数列，求数列{ }na 的通项公式。 解：∵对任意 n N  有 1 ( 1)( 2)6n n nS a a   ⑴ ∴当 n=1 时， 1 1 1 1 1 ( 1)( 2)6S a a a    ，解得 1 1a  或 1 2a  当 n≥2 时， 1 1 1 1 ( 1)( 2)6n n nS a a     ⑵ ⑴-⑵整理得： 1 1( )( 3) 0n n n na a a a     ∵{ }na 各项均为正数，∴ 1 3n na a   当 1 1a  时， 3 2na n  ，此时 2 4 2 9a a a 成立 当 1 2a  时， 3 1na n  ，此时 2 4 2 9a a a 不成立，故 1 2a  舍去 所以 3 2na n  练习。已知数列 }{ na 中, 0na 且 2)1(2 1  nn aS ,求数列 }{ na 的通项公式. 答案： nnn aSS  1 2 1 2 )1()1(  nn aa 12  nan 2、对无穷递推数列 例 14 已知数列{ }na 满足 1 1 2 3 11 2 3 ( 1) ( 2)n na a a a a n a n       ， ，求{ }na 的通项公式。 解：因为 1 2 3 12 3 ( 1) ( 2)n na a a a n a n       ① 所以 1 1 2 3 12 3 ( 1)n n na a a a n a na        ② 用②式－①式得 1 .n n na a na   则 1 ( 1) ( 2)n na n a n    故 1 1( 2)n n a n na     所以 1 3 2 2 2 1 2 2 ![ ( 1) 4 3] .2 n n n n n a a a na a n n a aa a a                ③ 由 1 2 3 12 3 ( 1) ( 2)n na a a a n a n       ， 2 1 22 2n a a a  取 得 ，则 2 1a a ，又 知 1 1a  ，则 2 1a  ，代入③得 !1 3 4 5 2n na n       。 所以，{ }na 的通项公式为 !.2n na  数列的通项公式与求和 1 1 2 3 4 2 4 2 1{ } , 1 ( 1,2,3, )3 (1) , , { } . (2) n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a         数列 的前 项为 且 ， 求 的值及数列 的通项公式 求 1 1 1 2{ } , 1 ( 1,2, ). : (1) { } ; (2) 4 n n n n n n n na n S a a S nn S n S a        数列 的前 项和记为 已知 ， 证明 数列 是等比数列 * 1 2 1{ } ( 1)( )3 (1) , ; (2) : { } . n n n n n a n S S a n N a a a    已知数列 的前 项为 ， 求 求证 数列 是等比数列 练习 1 练习 2 练习 3 1 1 2 1 1{ } , , .2n n n na a a a an n    已知数列 满足 求 1 1 2{ } , , , .3 1n n n n na a a a an   已知数列 满足 求 1 1 1 5 1 1{ } , , ( ) .6 3 2 n n n n na a a a a    已知数列 中 ,求 1 1 1 { } : 1, { } .3 1 n n n n n aa a a aa      已知数列 满足 ， 求数列 的通项公式 练 8 若等比数列{ }na 的前 n 项和 Sｎ＝2ｎ－１，则 22 3 2 2 2 1 naaaa   练习 4 练习 5 练 习 6 练习 7 练习 9 求和：5，55，555，5555，…， 5 (10 1)9 n  ，…； 练习 10 求和： 1 1 1 1 4 4 7 (3 2) (3 1)n n        练习 11 已知求和： 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 n             练 习 12 设{ }na 是等差数列，{ }nb 是各项都为正数的等比数列，且 1 1 1a b  ， 3 5 21a b  ， 5 3 13a b  （Ⅰ）求{ }na ，{ }nb 的通项公式； （Ⅱ）求数列 n n a b      的前 n 项和 nS ． 答案 练习 1 答案： 练习 2 证明： (1) 注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2) 由(1)知， {S(n)/n}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列。 所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n 得 2 3 4 2 1 4 16, ,3 9 27 1 1 1 4( ) 23 3 n n a a a n a n       　　　　 　 23 4[( ) 1]7 3 n  a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N 且 n>1) 又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N) 由(*)式得： S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n 练习 3 答案： 1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减： 3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以{an}为等比数列！ 练习 4 累加法，答案： 练习 5 累乘法，答案： 练习 6 待定系数法，答案： 练习 7 倒数法，答案： nan 1 2 3  nan 3 2 1 13( ) 2( )2 3 n n na   1 3 2na n   4 1 3 n  练习 8 公式法，答案： 练习 9 答案： 5 55 555 55 5 n nS         个 5 (9 99 999 99 9)9 n         个 2 35[(10 1) (10 1) (10 1) (10 1)]9 n         2 35 50 5[10 10 10 10 ] (10 1)9 81 9 n nn n         ． 练习 10 ，列项相消法，答案 3 1 n n  练习 11，,列项相消法 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1) 练习 12 （错位相减法） 答案：解：（Ⅰ）设 na 的公差为 d ， nb 的公比为 q ， 则依题意有 0q  且 4 2 1 2 21 1 4 13 d q d q        ， ， 解得 2d  ， 2q  ．所以 1 ( 1) 2 1na n d n     ， 1 12n n nb q    ．（Ⅱ） 1 2 1 2 n n n a n b   ． 1 2 2 1 3 5 2 3 2 11 2 2 2 2n n n n nS          ， ① 3 2 5 2 3 2 12 2 3 2 2 2n n n n nS          ，② ②－①得 2 2 1 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2n n n nS          ， 2 2 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2n n n              1 1 11 2 122 2 1 21 2 n n n        1 2 36 2n n    ．