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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(十三)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:当 f(k)≥k2 成立时,总
可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立.那么下列命题总成立的是( )
A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立
B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k2 成立
C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立
D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立
【解析】 根据题中条件可知:由 f(k)≥k2,必能推得 f(k+1)≥(k+1)2,但
反之不成立,因为 D 中 f(4)=25>42,故可推得 k≥4 时,f(k)≥k2,故只有 D 正
确.
【答案】 D
2.用数学归纳法证明“对于任意 x>0 和正整数 n,都有 xn+xn-2+xn-4+…
+ 1
xn-4
+ 1
xn-2
+1
xn
≥n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值 n0 应为( )
A.n0=1 B.n0=2
C.n0=1,2 D.以上答案均不正确
【解析】 需验证:n0=1 时,x+1
x
≥1+1 成立.
【答案】 A
3.利用数学归纳法证明不等式 1+1
2
+1
3
+…+ 1
2n-1m
24
对大于 1 的一切自然数 n 都成立,则自
然数 m 的最大值为( )
A.12 B.13
C.14 D.不存在
【解析】 令 f(n)= 1
n+1
+ 1
n+2
+…+ 1
2n
,
易知 f(n)是单调递增的,
∴f(n)的最小值为 f(2)=1
3
+1
4
= 7
12.
依题意 7
12>m
24
,∴m<14.因此取 m=13.
【答案】 B
5.用数学归纳法证明不等式 1
n+1
+ 1
n+2
+…+ 1
2n
<13
14(n≥2,n∈N+)的过程
中,由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边( )
A.增加了一项 1
2k+1
B.增加了两项 1
2k+1
, 1
2k+2
C.增加了 B 中两项但减少了一项 1
k+1
D.以上各种情况均不对
【解析】 ∵n=k 时,左边= 1
k+1
+ 1
k+2
+…+ 1
2k
,n=k+1 时,左边= 1
k+2
+ 1
k+3
+…+ 1
2k
+ 1
2k+1
+ 1
2k+2
,
∴增加了两项 1
2k+1
, 1
2k+2
,少了一项 1
k+1.
【答案】 C
二、填空题
6.用数学归纳法证明“2n + 1≥n2+n+2(n∈N + )”时,第一步的验证为
________.
【解析】 当 n=1 时,21+1≥12+1+2,即 4≥4 成立.
【答案】 21+1≥12+1+2
7.证明n+2
n
<1+1
2
+1
3
+…+ 1
2n
<n+1(n>1),当 n=2 时,要证明的式子
为________.
【解析】 当 n=2 时,要证明的式子为
2<1+1
2
+1
3
+1
4
<3.
【答案】 2<1+1
2
+1
3
+1
4
<3
8.在△ABC 中,不等式1
A
+1
B
+1
C
≥9
π
成立;在四边形 ABCD 中,不等式1
A
+
1
B
+1
C
+1
D
≥16
2π
成立;在五边形 ABCDE 中,不等式1
A
+1
B
+1
C
+1
D
+1
E
≥25
3π
成立.猜
想在 n 边形 A1A2…An 中,类似成立的不等式为________.
【解析】 由题中已知不等式可猜想:
1
A1
+ 1
A2
+ 1
A3
+…+ 1
An
≥ n2
n-2π(n≥3 且 n∈N+).
【答案】 1
A1
+ 1
A2
+ 1
A3
+…+ 1
An
≥ n2
n-2π(n≥3 且 n∈N+)
三、解答题
9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1
2
,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)判断
1
Sn 是否为等差数列,并证明你的结论;
(2)证明:S21+S22+…+S2n≤1
2
- 1
4n.
【解】 (1)S1=a1=1
2
,∴ 1
S1
=2.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,即 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
∴ 1
Sn
- 1
Sn-1
=2.
故
1
Sn 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.
(2)证明:①当 n=1 时,S21=1
4
=1
2
- 1
4×1
,不等式成立.
②假设 n=k(k≥1,且 k∈N+)时,不等式成立,即 S21+S22+…+S2k≤1
2
- 1
4k
成
立,
则当 n=k+1 时,S21+S22+…+S2k+S2k+1≤1
2
- 1
4k
+ 1
4k+12
=1
2
-1
4
1
k
- 1
k+12
=1
2
-1
4·k2+k+1
kk+12 <1
2
-1
4· k2+k
kk+12
=1
2
- 1
4k+1.
即当 n=k+1 时,不等式成立.
由①②可知对任意 n∈N+不等式成立.
10.已知函数 f(x)=1
3x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,且 an+1≥f′(an+1),
证明:an≥2n-1(n∈N*).
【证明】 由 f(x)=1
3x3-x,
得 f′(x)=x2-1.
因此 an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2),
(1)当 n=1 时,a1≥1=21-1,不等式成立.
(2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 ak≥2k-1,
当 n=k+1 时,
ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.
又 k≥1,∴22k≥2k+1,∴n=k+1 时,ak+1≥2k+1-1,即不等式成立.
根据(1)和(2)知,对任意 n∈N+,an≥2n-1 成立.
[能力提升]
1.对于正整数 n,下列不等式不正确的是( )
A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n
C.0.9n≤1-0.1n D.0.1n≤1-0.9n
【解析】 排除法,取 n=2,只有 C 不成立.
【答案】 C
2.利用数学归纳法证明“3×5×…×2n-1
2×4×…×2n-2
< 2n-1”时,n 的最小取值
n0 应为________.
【导学号:32750071】
【解析】 n0=1 时不成立,n0=2 时,3
2
< 3,再用数学归纳法证明,故 n0
=2.
【答案】 2
3.设 a,b 均为正实数(n∈N+),已知 M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则 M,
N 的大小关系为____________________
提示:利用贝努利不等式,令 x=b
a .
【解析】 当 n=1 时,M=a+b=N,
当 n=2 时,M=(a+b)2,N=a2+2ab<M,
当 n=3 时,M=(a+b)3,N=a3+3a2b<M,
归纳得 M≥N.
【答案】 M≥N
4.已知 f(x)=xn-x-n
xn+x-n
,对于 n∈N+,试比较 f( 2)与n2-1
n2+1
的大小并说明理由.
【解】 据题意 f(x)=xn-x-n
xn+x-n
=x2n-1
x2n+1
=1- 2
x2n+1
,
∴f( 2)=1- 2
2n+1.
又n2-1
n2+1
=1- 2
n2+1
,∴要比较 f( 2)与n2-1
n2+1
的大小,只需比较 2n 与 n2 的大
小即可,
当 n=1 时,21=2>12=1,
当 n=2 时,22=4=22,
当 n=3 时,23=8<32=9,
当 n=4 时,24=16=42,
当 n=5 时,25=32>52=25,
当 n=6 时,26=64>62=36.
故猜测当 n≥5(n∈N+)时,2n>n2,
下面用数学归纳法加以证明.
(1)当 n=5 时,不等式显然成立.
(2)假设 n=k(k≥5 且 k∈N+)时,不等式成立,
即 2k>k2.
则当 n=k+1 时,
2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1
=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2,
即 n=k+1 时,
不等式也成立.
由(1)(2)可知,
对一切 n≥5,n∈N+,2n>n2 成立.
综上所述,当 n=1 或 n≥5 时,f( 2)>n2-1
n2+1
,
当 n=2 或 n=4 时,f( 2)=n2-1
n2+1
,
当 n=3 时,f( 2)<n2-1
n2+1
.
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