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  • 2021-06-16 发布

高二数学人教a版选修4-5学业分层测评13word版含答案

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学业分层测评(十三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:当 f(k)≥k2 成立时,总 可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立.那么下列命题总成立的是( ) A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 【解析】 根据题中条件可知:由 f(k)≥k2,必能推得 f(k+1)≥(k+1)2,但 反之不成立,因为 D 中 f(4)=25>42,故可推得 k≥4 时,f(k)≥k2,故只有 D 正 确. 【答案】 D 2.用数学归纳法证明“对于任意 x>0 和正整数 n,都有 xn+xn-2+xn-4+… + 1 xn-4 + 1 xn-2 +1 xn ≥n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值 n0 应为( ) A.n0=1 B.n0=2 C.n0=1,2 D.以上答案均不正确 【解析】 需验证:n0=1 时,x+1 x ≥1+1 成立. 【答案】 A 3.利用数学归纳法证明不等式 1+1 2 +1 3 +…+ 1 2n-1m 24 对大于 1 的一切自然数 n 都成立,则自 然数 m 的最大值为( ) A.12 B.13 C.14 D.不存在 【解析】 令 f(n)= 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n , 易知 f(n)是单调递增的, ∴f(n)的最小值为 f(2)=1 3 +1 4 = 7 12. 依题意 7 12>m 24 ,∴m<14.因此取 m=13. 【答案】 B 5.用数学归纳法证明不等式 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n <13 14(n≥2,n∈N+)的过程 中,由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边( ) A.增加了一项 1 2k+1 B.增加了两项 1 2k+1 , 1 2k+2 C.增加了 B 中两项但减少了一项 1 k+1 D.以上各种情况均不对 【解析】 ∵n=k 时,左边= 1 k+1 + 1 k+2 +…+ 1 2k ,n=k+1 时,左边= 1 k+2 + 1 k+3 +…+ 1 2k + 1 2k+1 + 1 2k+2 , ∴增加了两项 1 2k+1 , 1 2k+2 ,少了一项 1 k+1. 【答案】 C 二、填空题 6.用数学归纳法证明“2n + 1≥n2+n+2(n∈N + )”时,第一步的验证为 ________. 【解析】 当 n=1 时,21+1≥12+1+2,即 4≥4 成立. 【答案】 21+1≥12+1+2 7.证明n+2 n <1+1 2 +1 3 +…+ 1 2n <n+1(n>1),当 n=2 时,要证明的式子 为________. 【解析】 当 n=2 时,要证明的式子为 2<1+1 2 +1 3 +1 4 <3. 【答案】 2<1+1 2 +1 3 +1 4 <3 8.在△ABC 中,不等式1 A +1 B +1 C ≥9 π 成立;在四边形 ABCD 中,不等式1 A + 1 B +1 C +1 D ≥16 2π 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式1 A +1 B +1 C +1 D +1 E ≥25 3π 成立.猜 想在 n 边形 A1A2…An 中,类似成立的不等式为________. 【解析】 由题中已知不等式可猜想: 1 A1 + 1 A2 + 1 A3 +…+ 1 An ≥ n2 n-2π(n≥3 且 n∈N+). 【答案】 1 A1 + 1 A2 + 1 A3 +…+ 1 An ≥ n2 n-2π(n≥3 且 n∈N+) 三、解答题 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1 2 ,an+2SnSn-1=0(n≥2). (1)判断 1 Sn 是否为等差数列,并证明你的结论; (2)证明:S21+S22+…+S2n≤1 2 - 1 4n. 【解】 (1)S1=a1=1 2 ,∴ 1 S1 =2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,即 Sn-Sn-1=-2SnSn-1, ∴ 1 Sn - 1 Sn-1 =2. 故 1 Sn 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. (2)证明:①当 n=1 时,S21=1 4 =1 2 - 1 4×1 ,不等式成立. ②假设 n=k(k≥1,且 k∈N+)时,不等式成立,即 S21+S22+…+S2k≤1 2 - 1 4k 成 立, 则当 n=k+1 时,S21+S22+…+S2k+S2k+1≤1 2 - 1 4k + 1 4k+12 =1 2 -1 4 1 k - 1 k+12 =1 2 -1 4·k2+k+1 kk+12 <1 2 -1 4· k2+k kk+12 =1 2 - 1 4k+1. 即当 n=k+1 时,不等式成立. 由①②可知对任意 n∈N+不等式成立. 10.已知函数 f(x)=1 3x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,且 an+1≥f′(an+1), 证明:an≥2n-1(n∈N*). 【证明】 由 f(x)=1 3x3-x, 得 f′(x)=x2-1. 因此 an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2), (1)当 n=1 时,a1≥1=21-1,不等式成立. (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 ak≥2k-1, 当 n=k+1 时, ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1. 又 k≥1,∴22k≥2k+1,∴n=k+1 时,ak+1≥2k+1-1,即不等式成立. 根据(1)和(2)知,对任意 n∈N+,an≥2n-1 成立. [能力提升] 1.对于正整数 n,下列不等式不正确的是( ) A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n C.0.9n≤1-0.1n D.0.1n≤1-0.9n 【解析】 排除法,取 n=2,只有 C 不成立. 【答案】 C 2.利用数学归纳法证明“3×5×…×2n-1 2×4×…×2n-2 < 2n-1”时,n 的最小取值 n0 应为________. 【导学号:32750071】 【解析】 n0=1 时不成立,n0=2 时,3 2 < 3,再用数学归纳法证明,故 n0 =2. 【答案】 2 3.设 a,b 均为正实数(n∈N+),已知 M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则 M, N 的大小关系为____________________ 提示:利用贝努利不等式,令 x=b a . 【解析】 当 n=1 时,M=a+b=N, 当 n=2 时,M=(a+b)2,N=a2+2ab<M, 当 n=3 时,M=(a+b)3,N=a3+3a2b<M, 归纳得 M≥N. 【答案】 M≥N 4.已知 f(x)=xn-x-n xn+x-n ,对于 n∈N+,试比较 f( 2)与n2-1 n2+1 的大小并说明理由. 【解】 据题意 f(x)=xn-x-n xn+x-n =x2n-1 x2n+1 =1- 2 x2n+1 , ∴f( 2)=1- 2 2n+1. 又n2-1 n2+1 =1- 2 n2+1 ,∴要比较 f( 2)与n2-1 n2+1 的大小,只需比较 2n 与 n2 的大 小即可, 当 n=1 时,21=2>12=1, 当 n=2 时,22=4=22, 当 n=3 时,23=8<32=9, 当 n=4 时,24=16=42, 当 n=5 时,25=32>52=25, 当 n=6 时,26=64>62=36. 故猜测当 n≥5(n∈N+)时,2n>n2, 下面用数学归纳法加以证明. (1)当 n=5 时,不等式显然成立. (2)假设 n=k(k≥5 且 k∈N+)时,不等式成立, 即 2k>k2. 则当 n=k+1 时, 2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1 =(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2, 即 n=k+1 时, 不等式也成立. 由(1)(2)可知, 对一切 n≥5,n∈N+,2n>n2 成立. 综上所述,当 n=1 或 n≥5 时,f( 2)>n2-1 n2+1 , 当 n=2 或 n=4 时,f( 2)=n2-1 n2+1 , 当 n=3 时,f( 2)<n2-1 n2+1 .