高二数学人教a版选修4-5学业分层测评13word版含答案 6页

学业分层测评（十三） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：当 f(k)≥k2 成立时，总 可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2 成立．那么下列命题总成立的是( ) A．若 f(3)≥9 成立，则当 k≥1 时，均有 f(k)≥k2 成立 B．若 f(5)≥25 成立，则当 k≤5 时，均有 f(k)≥k2 成立 C．若 f(7)＜49 成立，则当 k≥8 时，均有 f(k)＜k2 成立 D．若 f(4)＝25 成立，则当 k≥4 时，均有 f(k)≥k2 成立 【解析】 根据题中条件可知：由 f(k)≥k2，必能推得 f(k＋1)≥(k＋1)2，但 反之不成立，因为 D 中 f(4)＝25＞42，故可推得 k≥4 时，f(k)≥k2，故只有 D 正 确． 【答案】 D 2．用数学归纳法证明“对于任意 x＞0 和正整数 n，都有 xn＋xn－2＋xn－4＋… ＋ 1 xn－4 ＋ 1 xn－2 ＋1 xn ≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值 n0 应为( ) A．n0＝1 B．n0＝2 C．n0＝1,2 D.以上答案均不正确 【解析】 需验证：n0＝1 时，x＋1 x ≥1＋1 成立． 【答案】 A 3．利用数学归纳法证明不等式 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2n－1m 24 对大于 1 的一切自然数 n 都成立，则自 然数 m 的最大值为( ) A．12 B．13 C．14 D.不存在 【解析】 令 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n ， 易知 f(n)是单调递增的， ∴f(n)的最小值为 f(2)＝1 3 ＋1 4 ＝ 7 12. 依题意 7 12>m 24 ，∴m<14.因此取 m＝13. 【答案】 B 5．用数学归纳法证明不等式 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n ＜13 14(n≥2，n∈N＋)的过程 中，由 n＝k 递推到 n＝k＋1 时不等式左边( ) A．增加了一项 1 2k＋1 B．增加了两项 1 2k＋1 ， 1 2k＋2 C．增加了 B 中两项但减少了一项 1 k＋1 D．以上各种情况均不对 【解析】 ∵n＝k 时，左边＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ，n＝k＋1 时，左边＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ， ∴增加了两项 1 2k＋1 ， 1 2k＋2 ，少了一项 1 k＋1. 【答案】 C 二、填空题 6．用数学归纳法证明“2n ＋ 1≥n2＋n＋2(n∈N ＋ )”时，第一步的验证为 ________． 【解析】 当 n＝1 时，21＋1≥12＋1＋2，即 4≥4 成立． 【答案】 21＋1≥12＋1＋2 7．证明n＋2 n ＜1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2n ＜n＋1(n＞1)，当 n＝2 时，要证明的式子 为________． 【解析】 当 n＝2 时，要证明的式子为 2＜1＋1 2 ＋1 3 ＋1 4 ＜3. 【答案】 2＜1＋1 2 ＋1 3 ＋1 4 ＜3 8．在△ABC 中，不等式1 A ＋1 B ＋1 C ≥9 π 成立；在四边形 ABCD 中，不等式1 A ＋ 1 B ＋1 C ＋1 D ≥16 2π 成立；在五边形 ABCDE 中，不等式1 A ＋1 B ＋1 C ＋1 D ＋1 E ≥25 3π 成立．猜 想在 n 边形 A1A2…An 中，类似成立的不等式为________． 【解析】 由题中已知不等式可猜想： 1 A1 ＋ 1 A2 ＋ 1 A3 ＋…＋ 1 An ≥ n2 n－2π(n≥3 且 n∈N＋)． 【答案】 1 A1 ＋ 1 A2 ＋ 1 A3 ＋…＋ 1 An ≥ n2 n－2π(n≥3 且 n∈N＋) 三、解答题 9．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝1 2 ，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)判断 1 Sn 是否为等差数列，并证明你的结论； (2)证明：S21＋S22＋…＋S2n≤1 2 － 1 4n. 【解】 (1)S1＝a1＝1 2 ，∴ 1 S1 ＝2. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1，即 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， ∴ 1 Sn － 1 Sn－1 ＝2. 故 1 Sn 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列． (2)证明：①当 n＝1 时，S21＝1 4 ＝1 2 － 1 4×1 ，不等式成立． ②假设 n＝k(k≥1，且 k∈N＋)时，不等式成立，即 S21＋S22＋…＋S2k≤1 2 － 1 4k 成 立， 则当 n＝k＋1 时，S21＋S22＋…＋S2k＋S2k＋1≤1 2 － 1 4k ＋ 1 4k＋12 ＝1 2 －1 4 1 k － 1 k＋12 ＝1 2 －1 4·k2＋k＋1 kk＋12 <1 2 －1 4· k2＋k kk＋12 ＝1 2 － 1 4k＋1. 即当 n＝k＋1 时，不等式成立． 由①②可知对任意 n∈N＋不等式成立． 10．已知函数 f(x)＝1 3x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且 an＋1≥f′(an＋1)， 证明：an≥2n－1(n∈N*)． 【证明】 由 f(x)＝1 3x3－x， 得 f′(x)＝x2－1. 因此 an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)， (1)当 n＝1 时，a1≥1＝21－1，不等式成立． (2)假设当 n＝k 时，不等式成立，即 ak≥2k－1， 当 n＝k＋1 时， ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1. 又 k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1 时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立． 根据(1)和(2)知，对任意 n∈N＋，an≥2n－1 成立． [能力提升] 1．对于正整数 n，下列不等式不正确的是( ) A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n C．0.9n≤1－0.1n D.0.1n≤1－0.9n 【解析】 排除法，取 n＝2，只有 C 不成立． 【答案】 C 2．利用数学归纳法证明“3×5×…×2n－1 2×4×…×2n－2 ＜ 2n－1”时，n 的最小取值 n0 应为________. 【导学号：32750071】 【解析】 n0＝1 时不成立，n0＝2 时，3 2 ＜ 3，再用数学归纳法证明，故 n0 ＝2. 【答案】 2 3．设 a，b 均为正实数(n∈N＋)，已知 M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则 M， N 的大小关系为____________________ 提示：利用贝努利不等式，令 x＝b a . 【解析】 当 n＝1 时，M＝a＋b＝N， 当 n＝2 时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M， 当 n＝3 时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M， 归纳得 M≥N. 【答案】 M≥N 4．已知 f(x)＝xn－x－n xn＋x－n ，对于 n∈N＋，试比较 f( 2)与n2－1 n2＋1 的大小并说明理由． 【解】 据题意 f(x)＝xn－x－n xn＋x－n ＝x2n－1 x2n＋1 ＝1－ 2 x2n＋1 ， ∴f( 2)＝1－ 2 2n＋1. 又n2－1 n2＋1 ＝1－ 2 n2＋1 ，∴要比较 f( 2)与n2－1 n2＋1 的大小，只需比较 2n 与 n2 的大 小即可， 当 n＝1 时，21＝2＞12＝1， 当 n＝2 时，22＝4＝22， 当 n＝3 时，23＝8＜32＝9， 当 n＝4 时，24＝16＝42， 当 n＝5 时，25＝32＞52＝25， 当 n＝6 时，26＝64＞62＝36. 故猜测当 n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2， 下面用数学归纳法加以证明． (1)当 n＝5 时，不等式显然成立． (2)假设 n＝k(k≥5 且 k∈N＋)时，不等式成立， 即 2k＞k2. 则当 n＝k＋1 时， 2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1 ＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2， 即 n＝k＋1 时， 不等式也成立． 由(1)(2)可知， 对一切 n≥5，n∈N＋，2n＞n2 成立． 综上所述，当 n＝1 或 n≥5 时，f( 2)＞n2－1 n2＋1 ， 当 n＝2 或 n＝4 时，f( 2)＝n2－1 n2＋1 ， 当 n＝3 时，f( 2)＜n2－1 n2＋1 .