高中数学圆锥曲线结论(最完美版本) 14页

椭 圆 1. 点 P处的切线 PT平分△PF1F2在点 P 处的外角. 2. PT平分△PF1F2在点 P处的外角，则焦 点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相离. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长 轴为直径的圆内切. 5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   上，则过 0P 的椭圆的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 6. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   外 ，则过 Po作椭圆的两条切线切点为 P1、P2， 则切点弦 P1P2的直线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 7. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a＞b＞0)的左右焦点 分别为 F1，F 2，点 P为椭圆上任意一 点 1 2F PF   ，则椭圆的焦点角形的面 积为 1 2 2 tan 2F PFS b    . 8. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的焦半径公 式： 1 0| |MF a ex  , 2 0| |MF a ex  ( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y ). 9. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、 Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连 结AP 和AQ分别交相应于焦点 F的椭 圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于 两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶 点，A1P和 A2Q交于点M，A2P和 A1Q 交于点 N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的不平行于对称轴 的弦，M ),( 00 yx 为 AB的中点，则 2 2OM AB bk k a    ， 即 0 2 0 2 ya xb K AB  。 双曲线 1. 点 P处的切线 PT平分△PF1F2在点 P处的内角. 2. PT平分△PF1F2在点 P处的内角， 则焦点在直线 PT上的射影 H点的 轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应 准线相交. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以 实轴为直径的圆相切.（内切：P在 右支；外切：P在左支） 5. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞ 0,b＞0）上，则过 0P的双曲线的切 线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 6. 若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞ 0,b＞0）外 ，则过 Po作双曲线的 两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . 7. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞o）的左 右焦点分别为 F1，F 2，点 P为双曲 线上任意一点 1 2F PF   ，则双曲线 的焦点角形的面积为 1 2 2 t 2F PFS b co    . 8. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞o）的焦 半径公式：( 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c 当 0 0( , )M x y 在右支上时， 1 0| |MF ex a  , 2 0| |MF ex a  . 当 0 0( , )M x y 在左支上时， 1 0| |MF ex a   , 2 0| |MF ex a   9. 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线 相交 P、Q两点，A为双曲线长轴 上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别 交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N两点，则MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲 线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线 实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M，A2P和 A1Q交于点 N，则MF ⊥NF. 11. AB是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0） 的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM  ， 即 0 2 0 2 ya xb K AB  。 12.若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞ 0,b＞0）内，则被 Po所平分的中点 弦的方程是 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b    . 13.若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞ 0,b＞0）内，则过 Po的弦中点的轨 迹方程是 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b    . 椭圆与双曲线的对偶 性质--椭 圆 1. 椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞o）的两个顶 点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ，与 y轴平行的 直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 2 2 2 1x y a b   . 2. 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0, b＞0)上任 一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互 补的直线交椭圆于 B,C两点，则直 线 BC有定向且 2 0 2 0 BC b xk a y  （常数）. 3. 若 P为椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）上 异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦 点, 1 2PF F   , 2 1PF F   ，则 tan t 2 2 a c co a c     . 4. 设椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的两个 焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点） 为椭圆上任意一点，在△PF1F2中， 记 1 2F PF   , 1 2PF F   , 1 2F F P   ，则有 sin sin sin c e a       . 5. 若椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的左、 右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L， 则当 0＜e≤ 2 1 时，可在椭圆上求 一点 P，使得 PF1是 P到对应准线 距离 d与 PF2的比例中项. 6. P为椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）上任 一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一 定点，则 2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF     ,当且 仅当 2, ,A F P三点共线时，等号成立. 7. 椭圆 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1x x y y a b     与直线 0Ax By C   有公共点的充要条件 是 2 2 2 2 2 0 0( )A a B b Ax By C    . 8. 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点， 且OP OQ . 1) 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b    ; 2) |OP|2+|OQ|2的最大值为 2 2 2 2 4a b a b ; 3) OPQS 的最小值是 2 2 2 2 a b a b . 9. 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）的右焦 点 F作直线交该椭圆右支于M,N两 点，弦MN的垂直平分线交 x轴于 P，则 | | | | 2 PF e MN  . 10.已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点 0( ,0)P x , 则 2 2 2 2 0 a b a bx a a      . 11. 设 P点是椭圆 2 2 2 2 1x y a b  （ a＞b＞0） 上异于长轴端点的任一点,F1、F2为 其焦点记 1 2F PF   ，则 1) 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF    . 2) 1 2 2 tan 2PF FS b    . 12.设 A、B是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b ＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的 一点， PAB   , PBA   , BPA   ，c、e分别是椭 圆的半焦距离心率，则有 (1) 2 2 2 2 2 | cos || | s abPA a c co     .(2) 2tan tan 1 e    .(3) 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a    . 13.已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a＞b＞0）的 右准线 l与 x轴相交于点E，过椭圆 右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线 l上，且BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中 点. 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切 线，与以长轴为直径的圆相交，则 相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线 交相应准线于一点，则该点与焦点 的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的 距离与以该焦点为端点的焦半径之 比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点 的内、外角平分线与长轴交点分别称为 内、外点.） 17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非 焦顶点连线段分成定比 e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外 点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性 质--双曲线 1. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0） 的两个顶点为 1( ,0)A a , 2 ( ,0)A a ， 与 y轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹 方程是 2 2 2 2 1x y a b   . 2. 过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞o） 上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾 斜角互补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线 BC有定向且 2 0 2 0 BC b xk a y   （常数）. 3. 若 P为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外 的任一点,F1, F 2是焦点, 1 2PF F   , 2 1PF F   ，则 tan t 2 2 c a co c a     （或 tan t 2 2 c a co c a     ）. 4. 设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0） 的两个焦点为 F1、F2,P（异于长 轴端点）为双曲线上任意一点， 在△PF1F2中，记 1 2F PF   , 1 2PF F   , 1 2F F P   ，则有 sin (sin sin ) c e a        . 5. 若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0） 的左、右焦点分别为 F1、F2，左 准线为 L，则当 1＜e≤ 2 1 时， 可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项. 6. P为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞ 0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 2 1| | 2 | | | |AF a PA PF   ,当且仅当 2, ,A F P三点共线且 P和 2,A F 在 y 轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0） 与直线 0Ax By C   有公共点 的充要条件是 2 2 2 2 2A a B b C  . 8. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （b＞a ＞ 0），O为坐标原点，P、Q为双 曲线上两动点，且OP OQ . （1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b    ; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 2 2 2 2 4a b b a ; （3） OPQS 的最小值是 2 2 2 2 a b b a . 9. 过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞0） 的右焦点 F作直线交该双曲线 的右支于M,N两点，弦MN的 垂直平分线交 x轴于 P，则 | | | | 2 PF e MN  . 10.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞ 0）,A、B是双曲线上的两点， 线段AB的垂直平分线与 x轴相 交于点 0( ,0)P x , 则 2 2 0 a bx a   或 2 2 0 a bx a    . 11. 设 P点是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞ 0,b＞0）上异于实轴端点的任一 点,F1、F2为其焦点记 1 2F PF   ， 则(1) 2 1 2 2| || | 1 cos bPF PF    .(2) 1 2 2 cot 2PF FS b    . 12.设 A、B是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a ＞0,b＞0）的长轴两端点，P是 双曲线上的一点， PAB   , PBA   , BPA   ，c、e分别是 双曲线的半焦距离心率，则有 1) 2 2 2 2 2 | cos || | | s | abPA a c co     . 2) 2tan tan 1 e    . 3) 2 2 2 2 2 cotPAB a bS b a    . 13.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0,b＞ 0）的右准线 l与x轴相交于点E， 过双曲线右焦点F的直线与双 曲线相交于 A、B两点,点C在右 准线 l上，且 BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲 线的切线，与以长轴为直径的圆 相交，则相应交点与相应焦点的 连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲 线的切线交相应准线于一点，则 该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直. 16.双曲线焦三角形中,外点到一焦 点的距离与以该焦点为端点的 焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶 点的内、外角平分线与长轴交点分 别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对 的旁心将外点与非焦顶点连线 段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为 内、外点到双曲线中心的比例中 项. 圆锥曲线问题解题方法 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题 时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段 来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固 然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一 些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题 灵活运用定义，方法往往直接又明了。 例 1. 已知点 A（3，2），F（2，0），双曲线 x y2 2 3 1  ，P为双曲线上一点。 求 | | | |PA PF 1 2 的最小值。 解析：如图所示， 双曲线离心率为 2，F为右焦点，由第 二定律知 1 2 | |PF 即点 P到准线距离。      | | | | | | | |PA PF PA PE AM1 2 5 2 二. 引入参数，简捷明快 参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和 加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 l的椭圆短轴端点的 轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点 F到准线 l的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0） （t为参数）  p b c  2 ，而 c t   b pc pt2 再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y），则 x c t y b pt         消去 t，得轨迹方程 y px2  三. 数形结合，直观显示 将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数” 的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助 数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题 形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌 似困难和麻烦的问题。 例 3. 已知 x y R,  ，且满足方程 x y y2 2 3 0  ( )，又m y x    3 3 ，求 m范围。 解析：m y x    3 3 的几何意义为，曲线 x y y2 2 3 0  ( )上的点与点（－3，－3）连线 的斜率，如图所示 k m kPA PB      3 3 2 3 5 2 m 四. 应用平几，一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征， 因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平 几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题 就会迎刃而解。 例 4. 已知圆 ( )x y  3 42 2 和直线 y mx 的 交点为 P、Q，则 | | | |OP OQ 的值为________。 解： OMP OQN~ | | | | | | | |OP OQ OM ON    5 五. 应用平面向量，简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因 此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 例 5. 已知椭圆： x y2 2 24 16 1  ，直线 l： x y 12 8 1  ，P是 l上一点，射线 OP交椭圆于一 点 R，点 Q在 OP上且满足 | | | | | |OQ OP OR  2 ，当 点 P在 l上移动时，求点 Q的轨迹方程。 分析：考生见到此题基本上用的都是解析 几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向 量共线的条件便可简便地解出。 解：如图，OQ OR OP    ， ， 共线，设 OR OQ     ，OP OQ     ，OQ x y   ( )， ，则 OR x y   ( ) ， ，OP x y   ( ) ， | | | | | |OQ OP OR      2      | | | |OQ OQ2 2 2   2 点 R在椭圆上，P点在直线 l上     2 2 2 2 24 16 1x y ，  x y 12 8 1  即 x y x y2 2 24 16 12 8    化简整理得点 Q的轨迹方程为： ( ) ( )x y    1 5 2 1 5 3 1 2 2 （直线 y x  2 3 上方 部分） 六. 应用曲线系，事半功倍 利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功 倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要 的解题方法和技巧之一。 例 6. 求经过两圆 x y x2 2 6 4 0    和 x y y2 2 6 28 0    的交点，且圆心在直线 x y  4 0上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： x y x x y y2 2 2 26 4 6 28 0       ( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 6 28 4 02 2          x y x y 则圆心为 ( )    3 1 3 1   ， ，在直线 x y  4 0上 解得  7 故所求的方程为 x y x y2 2 7 32 0     七. 巧用点差，简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用 点差法，此法比其它方法更简捷一些。 例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线 x y2 2 2 1  相交于两点 P1、P2，求线段 P1P2中点 的轨迹方程。 解：设 P x y1 1 1( )， ， P x y2 2 2( )， ，则 x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2               <2>－<1>得 ( )( ) ( )( ) x x x x y y y y 2 1 1 2 2 1 1 2 2      即 y y x x x x y y 2 1 2 1 1 2 1 2 2     ( ) 设 P1P2的中点为 M x y( )0 0， ，则 k y y x x x yP P1 2 2 1 2 1 0 0 2     又 k y xAM    0 0 1 2 ，而 P1、A、M、P2共线  k kP P AM1 2 ，即 y x x y 0 0 0 0 1 2 2    P P1 2 中点M 的轨迹方程是2 4 02 2x y x y    解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计 30分左右, 考查的 知识点约为 20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识 的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基 本知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T是半圆 O的直径 AB上一点，AB=2、OT=t (0