北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第1节 6页

第四章 第一节 一、选择题 1．下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋9 4π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π 4 (k∈Z) [答案] C [解析] 与9π 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋9 4π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用， 所以只有答案 C 正确． 2．若α是第三象限角，则 y＝ |sinα 2| sinα 2 ＋ |cosα 2| cosα 2 的值为( ) A．0 B．2 C．－2 D．2 或－2 [答案] A [解析] ∵α是第三象限角，∴α 2 是第二或第四象限角． 当α 2 为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0； 当α 2 为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0. 3．(文)若α的终边过点 P(2sin30°，－2cos30°)，则 sinα的值为( ) A．1 2 B．－1 2 C．－ 3 2 D．－ 3 3 [答案] C [解析] P(2sin30°，－2cos30°)即 P(1，－ 3)， ∴r＝2，故 sinα＝－ 3 2 ，故选 C． (理)点 P(tan2 015°，cos2 015°)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] D [解析] ∵2 015°＝5×360°＋215°， ∴2 015°的角的终边在第三象限． ∴tan2 015°>0，cos2 015°<0，∴点 P 在第四象限． 4．与 610°角终边相同的角可表示为( ) A．k·360°＋230°，k∈Z B．k·360°＋250°，k∈Z C．k·360°＋70°，k∈Z D．k·360°＋270°，k∈Z [答案] B [解析] 由于 610°＝360°＋250°， 所以 610°与 250°角的终边相同． 5．(文)若α是第三象限的角，则π－1 2α是( ) A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角 [答案] B [解析] 由已知，得 2kπ＋π<α<2kπ＋3 2π(k∈Z) ∴－kπ＋π 4<π－α 2<－kπ＋π 2(k∈Z)． ∴π－α 2 是第一或第三象限的角． (理)若3π 2 <α<2π，则直线 x cosθ ＋ y sinα ＝1 必不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] B [解析] 判断 cosα>0，sinα<0，数形结合． 6．已知角α的终边过点 P(－8m，－6sin30°)，且 cosα＝－4 5 ，则 m 的值为( ) A．－1 2 B．1 2 C．－ 3 2 D． 3 2 [答案] B [解析] r＝ 64m2＋9， ∴cosα＝ －8m 64m2＋9 ＝－4 5 ，∴m>0. ∴ 4m2 64m2＋9 ＝ 1 25 ，∴m＝±1 2.∵m>0，∴m＝1 2. 二、填空题 7．已知角α的终边落在直线 y＝－3x(x<0)，则|sinα| sinα －|cosα| cosα ＝________. [答案] 2 [解析] 因为角α的终边落在直线 y＝－3x(x<0)上，所以角α是第二象限角，因此 sinα>0， cosα<0，故|sinα| sinα －|cosα| cosα ＝sinα sinα －－cosα cosα ＝1＋1＝2. 8．函数 y＝ sinx＋ 1 2 －cosx的定义域是________． [答案] [x|π 3 ＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z) [解析] 由题意知 sinx≥0， 1 2 －cosx≥0. 即 sinx≥0， cosx≤1 2. ∴x 的取值范围为{x|π 3 ＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}． 9．(2014·昆明模拟)已知α的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，点 P(－4m,3m)(m>0) 是α终边上一点，则 2sinα＋cosα＝________. [答案] 2 5 [解析] 由条件可求得 r＝5m，所以 sinα＝3 5 ，cosα＝－4 5 ，所以 2sinα＋cosα＝2 5. 三、解答题 10．(1)设 90°<α<180°.角α的终边上一点为 P(x， 5)，且 cosα＝ 2 4 x，求 sinα与 tanα的值； (2)已知角θ的终边上有一点 P(x，－1)(x≠0)，且 tanθ＝－x，求 sinθ，cosθ. [解析] (1)∵r＝ x2＋5，cosα＝ x x2＋5 . 从而 2 4 x＝ x x2＋5 ，解得 x＝0 或 x＝± 3. ∵90°<α<180°，∴x<0，因此 x＝－ 3. 故 r＝2 2，sinα＝ 5 2 2 ＝ 10 4 ， tanα＝ 5 － 3 ＝－ 15 3 . (2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－1 x ， 又∴tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1. 当 x＝1 时，sinθ＝－ 2 2 ，cosθ＝ 2 2 ； 当 x＝－1 时，sinθ＝－ 2 2 ，cosθ＝－ 2 2 . 一、选择题 1．(文)已知角α的终边上一点 P 的坐标为(sin2π 3 ，cos2π 3 )，则角α的最小正值为( ) A．5π 6 B．2π 3 C．5π 3 D．11π 6 [答案] D [解析] 由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cosα＝sin2π 3 ＝ 3 2 ，故α＝2kπ －π 6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π 6 . (理)已知锐角α终边上一点 P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A．2 B．－2 C．2－π 2 D．π 2 －2 [答案] C [解析] 点 P 位于第一象限，且 tanα＝－cot2＝－tan π 2 －2 ＝tan 2－π 2 ， ∵2－π 2 ∈ 0，π 2 ，∴α＝2－π 2. 2．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A．2 B．sin2 C． 2 sin1 D．2sin1 [答案] C [解析] 由已知可得该圆的半径为 1 sin1. ∴2 弧度的圆心角所对的弧长为 2× 1 sin1 ＝ 2 sin1. 二、填空题 3．若角α的终边与直线 y＝3x 重合且 sinα<0，又 P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝ 10， 则 m－n 等于________． [答案] 2 [解析] 依题意： n＝3m， m2＋n2＝10. 解得：m＝1，n＝3 或 m＝－1，n＝－3， 又 sinα<0，∴α的终边落在第三象限，∴n<0， ∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 4．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是________． [答案] β＝α＋kπ，k∈Z [解析] 当α、β的终边重合时，β＝α＋k·2π，k∈Z. 当α、β的终边互为反向延长线时， β＝π＋α＋k·2π＝α＋(2k＋1)π，k∈Z. 综上，β＝α＋kπ，k∈Z. 三、解答题 5．已知扇形的面积为 S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此 最小值． [解析] 解法 1：设 l 为扇形的弧长，由 S＝1 2l·r 得 l＝2S r ，故扇形的周长 C＝2r＋2S r . 即 2r2－C·r＋2S＝0.由于 r 存在，故方程有解， 因此有Δ＝C2－16S≥0，即 C≥4 S. ∴周长 C 的最小值为 4 S.此时，r＝C± Δ 2×2 ＝ S， 中心角α＝2S r2 ＝2rad 所以当扇形的中心角为 2rad 时，扇形的周长最小，最小值为 4 S. 解法 2：设 l 为扇形的弧长，由 S＝1 2l·r 得 l＝2S r ， 故扇形的周长 C＝2r＋2S r ≥2 2r·2S r ＝4 S. 当且仅当 2r＝2S r ，即 S＝r2 时取“＝”， 此时，α＝l r ＝2S r2 ＝2r2 r2 ＝2raD． 所以当扇形的中心角为 2rad 时，扇形的周长最小，最小值为 4 S. 6．(2014·绍兴月考)角α终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0)，角β终边上的点 Q 与 A 关于直线 y＝x 对称，求 sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα· tanβ的值． [解析] 由题意得，点 P 的坐标为(a，－2a)，点 Q 的坐标为(2a，a)． 所以，sinα＝ －2a a2＋－2a2 ＝－ 2 5 ， cosα＝ a a2＋－2a2 ＝ 1 5 ， tanα＝－2a a ＝－2， sinβ＝ a 2a2＋a2 ＝ 1 5 ， cosβ＝ 2a 2a2＋a2 ＝ 2 5 ， tanβ＝ a 2a ＝1 2 ， 故有 sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ ＝－2 5 × 1 5 ＋ 1 5 × 2 5 ＋(－2)×1 2 ＝－1.