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- 2021-06-16 发布
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课时提升作业(四)
演绎推理
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2015·福州高二检测)有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于 0,因为 a∈R,
所以 a2>0”,结论显然是错误的,是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
【解析】选 A.任何实数的平方大于 0,
因为 a 是实数,所以 a2>0.
大前提:任何实数的平方大于 0 是不正确的.
2.在“△ABC 中,E,F 分别是边 AB,AC 的中点,则 EF∥BC”的推理过程中,大前提是( )
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边长的一半
C.E,F 为 AB,AC 的中点
D.EF∥BC
【解析】选 A.本题的推理形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定
理.
【补偿训练】已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三角形”.
若将其恢复成完整的“三段论”,则大前提是 .
【解析】根据已知的推理,可知 32+42=52,满足直角三角形的三条边的性质,故大前提是一
条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形.
答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
【拓展延伸】用三段论写推理过程的关注点
(1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性
的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般原理与特殊情况的内在
联系.
(2)有时可省略小前提,有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时,可找一个使
结论成立的充分条件作为大前提.
3.(2015·登封高二检测)下面是一段“三段论”推理过程:若函数 f(x)在(a,b)内可导且
单调递增,则在(a,b)内,f′(x)>0 恒成立.因为 f(x)=x3 在(-1,1)内可导且单调递增,所
以在(-1,1)内,f′(x)=3x2>0 恒成立.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.结论正确 D.推理形式错误
【解析】选 A.因为对于可导函数 f(x),f(x)在区间(a,b)上是增函数,f′(x)>0 对 x∈(a,
b)恒成立,应该是 f′(x)≥0 对 x∈(a,b)恒成立,所以大前提错误.
4.(2015·厦门高二检测)已知三条不重合的直线 m,n,l,两个不重合的平面α,β,有下
列命题:
①若 m∥n,n⊂α,则 m∥α;
②若 l⊥α,m⊥β且 l∥m,则α∥β;
③若 m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则 n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 B.①中,m 还可能在平面α内,①错误;②正确;③中,m 与 n 相交时才成立,
③错误;④正确.
5.“10,cosα<0.所以 m=8(m=0 舍去).
答案:8
【补偿训练】已知函数 f(x)=a- ,若 f(x)为奇函数,则 a= .
【解析】因为奇函数 f(x)在 x=0 处有定义且 f(0)=0(大前提),而奇函数 f(x)=a- 的定
义域为 R(小前提),所以 f(0)=a- =0(结论).
解得 a= .
答案:
8.不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
【解题指南】应用演绎推理结合一元二次不等式知识解决.
【解析】不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立,
即(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切 x∈R 恒成立.
(1)若 a+2=0,显然不成立.
(2)若 a+2≠0,则 所以 a>2.
答案:(2,+∞)
【补偿训练】(2015·郑州高二检测)在 R 上定义运算⊗ :x⊗ y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗
(x+a)<1 对任意实数 x 都成立,则( )
A.-10.
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0 即 4a2-4a-3<0.
解得- 1),证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
【证明】任取 x1,x2∈(-1,+∞),
且 x10,且 a>1,所以 >1.
而-10,x2+1>0,
所以 f(x2)-f(x1)>0,
所以 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
【一题多解】f(x)=ax+ =ax+1- .
所以 f′(x)=axlna+ .
因为 x>-1,所以(x+1)2>0,所以 >0.
又因为 a>1,所以 lna>0,ax>0,
所以 axlna>0,所以 f′(x)>0,
于是 f(x)=ax+ 在(-1,+∞)上是增函数.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x),如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数
f(x)的极值点,因为函数 f(x)=x3 在 x=0 处的导数值 f′(0)=0,所以 x=0 是函数 f(x)=x3 的
极值点.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.结论正确
【解题指南】在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也
可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析其大前提的形式:“对于可导函
数 f(x),如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点”,不难得到结论.
【解析】选 A.因为大前提是:“对于可导函数 f(x),如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)
的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数 f(x),如果 f′(x0)=0,且满足当 x>x0 时和当
x0,
由选项知 x>0,所以 sinx<0,选项 B 符合条件.
【延伸探究】本题条件不变,求函数 y=xcosx-sinx 在上的最值.
【解析】由原题解法可知,函数 y=xcosx-sinx 在上单调递增,故当 x=π时取得最小值,当
x=2π时取得最大值.所以 ymin=πcosπ-sinπ=-π,
ymax=2πcos2π-sin2π=2π.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列命题:
①其图象关于 y 轴对称;
②当 x>0 时,f(x)为增函数;
③f(x)的最小值是 lg2;
④当-11 时,f(x)是增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值.
其中正确结论的序号是 .
【解析】易知 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,①正确.当 x>0 时,
f(x)=lg =lg(x+ ).因为 g(x)=x+ 在(0,1)上是减函数,在(1,
+∞)上是增函数,所以 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故②不正确,
而 f(x)有最小值 lg2,故③正确,④也正确,⑤不正确.
答案:①③④
4.如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上,则该正方形是该三角形的内接正方形,那
么面积为 4 的锐角△ABC 的内接正方形面积的最大值为 .
【解析】如图,作 AN⊥BC 于点 N 交 GF 于点 M,设 AN=h,BC=a,
因为四边形 GDEF 是正方形,
所以 GF=GD=MN,GF∥BC,
所以△AGF∽△ABC,
所以 = .
设正方形的边长为 x.
所以 = ,
解得 x= .
由于三角形的面积为 4,所以 ah=8,
所以 x= = ≤ = ,
当且仅当 a=h 时取等号.
所以△ABC 的内接正方形面积的最大值为( )2=2.
答案:2
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.已知 y=f(x)在(0,+∞)上有意义、单调递增且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x2)=2f(x).
(2)求 f(1)的值.
(3)若 f(x)+f(x+3)≤2,求 x 的取值范围.
【解析】(1)证明:因为 f(xy)=f(x)+f(y),(大前提)
所以 f(x2)=f(x·x)
=f(x)+f(x)=2f(x).(结论)
(2)因为 f(1)=f(12)=2f(1),(小前提)
所以 f(1)=0.(结论)
(3)因为 f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2
=2f(2)=f(4),(小前提)
且函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,(大前提)
所以 解得 0
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