高中数学第一章1-2-3函数的极值与导数练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.3 函数的极值与导数 练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．下列函数存在极值的是( )． A．y＝1 x B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3 2．函数 y＝1＋3x－x3 有( )． A．极小值－1，极大值 1 B．极小值－2，极大值 3 C．极小值－2，极大值 2 D．极小值－1，极大值 3 3．函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )． A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 4．函数 f(x)＝2x3－6x2－18x＋7( )． A．在 x＝－1 处取得极大值 17，在 x＝3 处取得极小值－47 B．在 x＝－1 处取得极小值 17，在 x＝3 处取得极大值－47 C．在 x＝－1 处取得极小值－17，在 x＝3 处取得极大值 47 D．以上都不对 5．三次函数当 x＝1 时有极大值 4，当 x＝3 时有极小值 0，且函数过原点，则此函数是( )． A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 6．设方程 x3－3x＝k 有 3 个不等的实根，则常数 k 的取值范围是________． 7．已知函数 y＝ x2 x－1 ，当 x＝________时取得极大值________；当 x＝________时取得极小 值________． 8．函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是 ________． 9．函数 y＝x3－6x＋a 的极大值为________，极小值为________． 10．求函数 f(x)＝x2e－x 的极值． 11．已知函数 y＝ax3＋bx2，当 x＝1 时函数有极大值 3， (1)求 a，b 的值； (2)求函数 y 的极小值． 12．设函数 f(x)＝a 3 x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程 f′(x)－9x＝0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a＝3 且曲线 y＝f(x)过原点时，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求 a 的取值范围． 1．下列函数存在极值的是( )． A．y＝1 x B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3 解析 A 中 f′(x)＝－1 x2，令 f′(x)＝0 无解，且 f(x)为双曲函数，∴A 中函数无极值．B 中 f′(x)＝1－ex，令 f′(x)＝0 可得 x＝0.当 x<0 时，f′(x)>0；当 x>0 时，f′(x)<0. ∴y＝f(x)在 x＝0 处取极大值，f(0)＝－1.C 中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y＝f(x)无极值，D 也无极值．故选 B. 答案 B 2．函数 y＝1＋3x－x3 有( )． A．极小值－1，极大值 1 B．极小值－2，极大值 3 C．极小值－2，极大值 2 D．极小值－1，极大值 3 解析 f′(x)＝－3x2＋3，由 f′(x)＝0 可得 x1＝1，x2＝－1. 由极值的判定方法知 f(x)的极大值为 f(1)＝3，极小值为 f(－1)＝1－3＋1＝－1，故选 D. 答案 D 3．函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )． A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是 极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 答案 C 4．设方程 x3－3x＝k 有 3 个不等的实根，则常数 k 的取值范围是________． 解析 设 f(x)＝x3－3x－k，则 f′(x)＝3x2－3.令 f′(x)＝0 得 x＝±1，且 f(1)＝－2 －k，f(－1)＝2－k，又 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点，故 2－k>0， －2－k<0， ∴－20)，且方程 f′(x)－9x＝0 的两个根分别 为 1,4. (1)当 a＝3 且曲线 y＝f(x)过原点时，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求 a 的取值范围． 解 由 f(x)＝a 3 x3＋bx2＋cx＋d， 得 f′(x)＝ax2＋2bx＋c. ∵f′(x)－9x＝ax2＋(2b－9)x＋c＝0 的两个根 分别为 1,4，∴ a＋2b＋c－9＝0， 16a＋8b＋c－36＝0， (*) (1)当 a＝3 时，由(*)式得 2b＋c－6＝0， 8b＋c＋12＝0， 解得 b＝－3，c＝12，又因为曲线 y＝f(x)过原点， 所以 d＝0，故 f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于 a>0，∵f(x)＝a 3 x3＋bx2＋cx＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点， ∴f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0 在(－∞，＋∞)内恒成立． 由(*)式得 2b＝9－5a，c＝4a， 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．解 a>0， Δ＝9 a－1 a－9≤ 0. 得 a∈[1,9]，即 a 的取值范围为[1,9]．