2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.6.3 平面与平面垂直 12页

8.6.3 平面与平面垂直 学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单 的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面 面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题. 知识点一 二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角 P－l－Q 或二面角 P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－ β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是 0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点二 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点三 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 1.组成二面角的平面角的两边所在直线所确定的平面与二面角的棱垂直.( √ ) 2.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.( √ ) 3.若平面α⊥平面β，任取直线 l⊂α，则必有 l⊥β.( × ) 4.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面.( √ ) 一、二面角的求法 例 1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且 PA＝AC， 求二面角 P－BC－A 的大小. 解 由已知 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB 是⊙O 的直径，且点 C 在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面 PAC， ∴BC⊥平面 PAC. 又 PC⊂平面 PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC 是二面角 P－BC－A 的棱， ∴∠PCA 是二面角 P－BC－A 的平面角. 由 PA＝AC 知△PAC 是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角 P－BC－A 的大小是 45°. 反思感悟 在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹 角为所求二面角的平面角. 跟踪训练 1 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中： ①二面角 D′－AB－D 的大小为________. ②二面角 A′－AB－D 的大小为________. 答案 ①45° ②90° 解析 ①在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面 AD′，所以 AB⊥AD′，AB⊥AD， 因此∠D′AD 为二面角 D′－AB－D 的平面角.在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝45°，所以二 面角 D′－AB－D 的大小为 45°. ②因为 AB⊥平面 AD′，所以 AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD 为二面角 A′－AB－D 的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角 A′－AB－D 的大小为 90°. 二、平面与平面垂直的判定 例 2 在边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABCD，求证：平面 PDB⊥平 面 PAC. 证明 ∵PC⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD， 又 PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 PAC. ∵BD⊂平面 PBD，∴平面 PDB⊥平面 PAC. 反思感悟 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互 相垂直. 跟踪训练 2 如图，已知三棱锥 S－ABC 中，侧棱 SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°， 求证：平面 ABC⊥平面 ASC. 证明 作 SH⊥AC 交 AC 于点 H，连接 BH， ∵SA＝SC，∴AH＝HC. 在 Rt△ABC 中，H 是 AC 的中点， ∴BH＝1 2AC＝AH， 又 SH＝SH，SA＝SB， ∴△SAH≌△SBH(SSS)， ∴SH⊥BH， 又 AC∩BH＝H，AC，BH ⊂ 平面 ABC， ∴SH⊥平面 ABC， 又 SH ⊂ 平面 ASC，∴平面 ABC⊥平面 ASC. 三、平面与平面垂直的性质定理 例 3 如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC. 求证：BC⊥AB. 证明 如图，在平面 PAB 内， 作 AD⊥PB 于点 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB， AD⊂平面 PAB， ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB，∴BC⊥AB. 反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平 面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪训练 3 如图，边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，AD 与 CE 的交 点为 M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面 EBC. 证明 ∵平面 ACDE⊥平面 ABC，平面 ACDE∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面 ACDE. 又 AM⊂平面 ACDE，∴BC⊥AM. ∵四边形 ACDE 是正方形，∴AM⊥CE. 又 BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面 EBC， ∴AM⊥平面 EBC. 1.已知 l⊥α，则过 l 与α垂直的平面( ) A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数个 D.不存在 答案 C 解析 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个. 2.对于直线 m，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β 答案 C 解析 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又 m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β. 3.从空间一点 P 向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线 PE，PF，E，F 为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( ) A.60° B.120° C.60°或 120° D.不确定 答案 C 解析 ∵PE⊥α，PF⊥β， ∴P，E，F 三点确定的平面垂直于α和β. 过点 E 作 l 的垂线，垂足为 O，连接 OF，易知 l⊥OF 且 P，E，O，F 四点共面， 则∠FOE 为二面角的平面角， 如图①所示， 此时，∠FOE＋∠EPF＝180°， ∴二面角α－l－β的平面角为 120°. 当点 P 的位置如图②所示时， 此时∠FOE＝∠EPF， ∴二面角α－l－β的平面角为 60°. 4.下列命题正确的是( ) A.平面α内的一条直线 a 垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β B.若直线 m 与平面α内的一条直线平行，则 m∥α C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面β D.若直线 a 与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有 a⊥α 答案 D 解析 A 项，平面α内的一条直线 a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故 A 错误； B 项，直线 m 与平面α内的一条直线平行，也可能 m⊂α，故 B 错误； C 项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点 P 与 l 垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂 直于β，故 C 错误； D 项，a 与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出 a⊥α，故 D 正确. 5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的 平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.既不相等也不互补 答案 A 解析 画图易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这 两个二面角相等. 1.知识清单： (1)二面角以及二面角的平面角. (2)平面与平面垂直的判定定理. (3)平面与平面垂直的性质定理. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直. 1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面( ) A.有且只有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有两个 D.有一个或无数个 答案 D 2.直线 l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 答案 C 解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直. 3.下列命题中正确的是( ) A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D.若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 答案 C 解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故 A 错； 由直线与平面垂直的判定定理知，B，D 错，C 正确. 4.在二面角α－l－β的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是二面角α－l－β的平面角，则必须具有 的条件是( ) A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B.AO⊥l，BO⊥l C.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D.AO⊥l，BO⊥l，且 AO⊂α，BO⊂β 答案 D 5.如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 答案 D 解析 ∵PA⊥平面 ABCD，∴平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAB⊥平面 ABCD， 又由题意可得 CD⊥平面 PAD，AB⊥平面 PAD，BC⊥平面 PAB， ∴平面 PCD⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PBC⊥平面 PAB，∴共有 5 对互相垂 直的平面. 6.如图所示，在三棱锥 D—ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列说法中 正确的是________.(填序号) ①平面 ABC⊥平面 ABD； ②平面 ABC⊥平面 BCD； ③平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE； ④平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE. 答案 ③ 解析 由 AB＝CB，AD＝CD，E 为 AC 的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE.又 DE∩BE＝E，DE， BE⊂平面 BDE，从而 AC⊥平面 BDE，故③正确. 7.二面角α－l－β的大小为 60°，异面直线 a，b 分别垂直于α，β，则 a 与 b 所成角的大小是 ________. 答案 60° 解析 过直线 a 上一点作 b 的平行线 b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知， a 与 b′的夹角为 60°，所以 a 与 b 所成角的大小是 60°. 8.已知两条不同的直线 m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论： ①若 m 垂直于α内的两条相交直线，则 m⊥α； ②若 m∥α，则 m 平行于α内的所有直线； ③若 m⊂α，n⊂β，且α∥β，则 m∥n； ④若 n⊂β，n⊥α，则α⊥β. 其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上) 答案 ①④ 解析 ①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若 m∥α，则 m 与α内的直 线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的 内容为面面垂直的判定定理，故④正确. 9.在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC，D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证：直线 A1B1∥平面 ABD； (2)求证：平面 ABD⊥平面 BCC1B1. 证明 (1)由直三棱柱 ABC－A1B1C1，得 A1B1∥AB. 因为 A1B1⊄平面 ABD，AB⊂平面 ABD，所以直线 A1B1∥平面 ABD. (2)因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱，所以 AB⊥BB1. 又因为 AB⊥BC，BB1⊂平面 BCC1B1，BC⊂平面 BCC1B1，且 BB1∩BC＝B，所以 AB⊥平面 BCC1B1. 又因为 AB⊂平面 ABD，所以平面 ABD⊥平面 BCC1B1. 10.如图，在三棱锥 A－BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 证明 (1)在平面 ABD 内， 因为 AB⊥AD，EF⊥AD，则 AB∥EF. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD，BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC， BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC，所以 AD⊥AC. 11.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是( ) ①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线； ②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任意一条直线必垂直于β. A.0 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 ①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则 a⊥b，故β内与 b 平行的无数条直线均垂直于α 内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任 意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题. 12.如图，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB，则下列 结论中正确的是( ) A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 答案 D 解析 ∵PA⊥平面 ABC，∴∠ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角. ∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴AD＝2AB， ∴tan∠ADP＝PA AD ＝2AB 2AB ＝1，∴直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°. 13.已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角的大小 为________. 答案 60° 解析 正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则底面边长为 2 3，底面积为 12， 所以正四棱锥的高为 3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为 3，故所求的二面角为 60°. 14.α，β是两个不同的平面，m，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 答案 ①③④⇒② 解析 m⊥n，将 m 和 n 平移到一起，则确定一平面， ∵n⊥β，m⊥α， ∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直， 从而平面α和平面β的二面角的平面角为 90°，∴α⊥β. 故答案为①③④⇒②. 15.如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的 一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条 件即可) 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 解析 由题意得 BD⊥AC， ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD. 又 PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 PAC，∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD， 而 PC⊂平面 PCD，∴平面 MBD⊥平面 PCD. 16.如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，∠BCD＝120°，平面 PCD⊥平面 ABCD， PC＝a，PD＝ 2a，E 为 PA 的中点，求证：平面 EDB⊥平面 ABCD. 证明 设 AC∩BD＝O， 连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD，平面 PCD∩平面 ABCD＝CD，PC⊂平面 PCD， ∴PC⊥平面 ABCD， ∴EO⊥平面 ABCD. 又 EO⊂平面 EDB，故有平面 EDB⊥平面 ABCD.