2020年高中数学新教材同步必修第二册 第7章 7.2.2 复数的乘、除运算 10页

7.2.2 复数的乘、除运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘 法对加法的分配律. 知识点一 复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd) ＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数 z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 思考 |z|2＝z2，正确吗？ 答案 不正确.例如，|i|2＝1，而 i2＝－1. 知识点二 复数除法的法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)是任意两个复数， 则z1 z2 ＝a＋bi c＋di ＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(c＋di≠0). 1.(1＋i)(2＋i)＝________. 答案 1＋3i 解析 依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i. 2.i 是虚数单位，复数1－3i 1－i ＝________. 答案 2－i 解析 1－3i 1－i ＝1－3i1＋i 1－i1＋i ＝4－2i 2 ＝2－i. 3.复数 z＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在第________象限. 答案 四 解析 因为 z＝i(－2－i)＝1－2i， 所以复数 z 对应的点在第四象限. 4.已知复数 z＝ 5i 1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝________. 答案 5 解析 |z|＝| 5i 1＋2i|＝|5i1－2i 5 |＝|i＋2|＝ 5. 一、复数代数形式的乘法运算 例 1 计算下列各题. (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 反思感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将 i2 换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 跟踪训练 1 (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于( ) A.2－13i B.13＋2i C.13－13i D.－13－2i 答案 D 解析 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) 答案 B 解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以 a＋1<0， 1－a>0， 解得 a<－1. 二、复数代数形式的除法运算 例 2 (1)如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是OA→ ，OB→ ，则复数z1 z2 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i， 所以z1 z2 ＝－2－i i ＝－1＋2i， 对应的点在第二象限. (2)计算：1＋i7 1－i ＋1－i7 1＋i －3－4i2＋2i3 4＋3i . 解 原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i3 3－4ii ＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－ 8·2i1＋i i ＝8＋8－16－16i＝－16i. 反思感悟 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①1 i ＝－i； ②1＋i 1－i ＝i； ③1－i 1＋i ＝－i. 跟踪训练 2 (1)设复数 z 满足1＋z 1－z ＝i，则|z|等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 A 解析 由1＋z 1－z ＝i 得 1＋z＝i(1－z)， 即 z＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝－1－i2 2 ＝i，|z|＝1. (2)计算：① 7＋i 3＋4i ；②－1＋i2＋i －i . 解 ① 7＋i 3＋4i ＝ 7＋i3－4i 3＋4i3－4i ＝25－25i 25 ＝1－i. ②－1＋i2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i·i －i·i ＝－1－3i. 三、在复数范围内解方程 例 3 在复数范围内解方程 x2＋6x＋10＝0. 解 因为 x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1， 所以(x＋3)2＝－1， 又因为 i2＝－1， 所以(x＋3)2＝i2， 所以 x＋3＝±i， 即 x＝－3±i. 反思感悟 当一元二次方程中Δ<0 时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 跟踪训练 3 已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 为实数)的一个根. (1)求 b，c 的值； (2)试判断 1－i 是不是方程的根. 解 (1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的根，且 b，c 为实数， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即 b＋c＋(b＋2)i＝0， ∴ b＋c＝0， 2＋b＝0， 解得 b＝－2， c＝2. (2)由(1)知方程为 x2－2x＋2＝0， 把 1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边， 即方程式成立. ∴1－i 是方程的根. 1.若 a，b∈R，i 为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( ) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1 答案 D 解析 ∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i， ∴a＝1，b＝－1. 2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A.6－4i B.－6－4i C.6＋4i D.－6＋4i 答案 D 解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3.在复平面内，复数 i 1＋i ＋(1＋ 3i)2 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 i 1＋i ＋(1＋ 3i)2＝1 2i＋1 2 ＋1－3＋2 3i ＝－3 2 ＋ 1 2 ＋2 3 i，对应点在第二象限. 4.(1＋i)2－2－i 2＋i ＝________. 答案 －3 5 ＋14 5 i 解析 (1＋i)2－2－i 2＋i ＝2i－2－i2 5 ＝－3 5 ＋14 5 i. 5.方程 x2＋3＝0 在复数范围内的解为 x＝________. 答案 ± 3i 1.知识清单： (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)复数的综合运算. (4)在复数范围内解方程. 2.方法归纳：分母实数化；配方法解方程；求根公式法. 3.常见误区：分母实数化时忽视 i2＝－1 造成运算错误. 1.复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i， 故复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于第三象限. 2.若 z(1＋i)＝2i，则 z 等于( ) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 答案 D 解析 z＝ 2i 1＋i ＝ 2i1－i 1＋i1－i ＝1＋i. 3.设 z＝ 3－i 1＋2i ，则|z|等于( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 答案 C 解析 z＝ 3－i 1＋2i ＝ 3－i1－2i 1＋2i1－2i ＝1 5 －7 5i， 所以|z|＝ 2. 4.(1＋i)20－(1－i)20 的值是( ) A.－1 024 B.1 024 C.0 D.512 答案 C 解析 ∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4， 又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4， ∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0. 5.若 z＋ z ＝6，z· z ＝10，则 z 等于( ) A.1±3i B.3±i C.3＋i D.3－i 答案 B 解析 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi， 由题意得 2a＝6， a2＋b2＝10， 解得 a＝3， b＝1 或 a＝3， b＝－1， ∴z＝3±i. 6.设复数 z＝1＋ 2i，则 z2－2z＝________. 答案 －3 解析 z2－2z＝(1＋ 2i)2－2(1＋ 2i) ＝1＋( 2i)2＋2 2i－2－2 2i＝－3. 7.复数3＋i i2 (i 为虚数单位)的实部等于________. 答案 －3 解析 由题意可得3＋i i2 ＝－3－i，－3－i 的实部为－3. 8.已知关于 x 的方程 ax2＋x＋c＝0(a，c∈R)的一个根是 2＋3i，则 a－c＝________. 答案 3 解析 由题意，得 a(2＋3i)2＋(2＋3i)＋c＝0， 即－5a＋2＋c＋(12a＋3)i＝0. 由复数相等的充要条件，得 －5a＋2＋c＝0， 12a＋3＝0， 解得 a＝－1 4 ， c＝－13 4 . 所以 a－c＝3. 9.计算： (1)－1＋i2＋i i3 ； (2)1＋2i2＋31－i 2＋i ； (3) 1＋i 1－i 6＋ 2＋ 3i 3－ 2i . 解 (1)－1＋i2＋i i3 ＝－3＋i －i ＝－1－3i. (2)1＋2i2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i＋3－3i 2＋i ＝ i 2＋i ＝i2－i 5 ＝1 5 ＋2 5i. (3) 1＋i 1－i 6＋ 2＋ 3i 3－ 2i ＝ 1＋i2 2 6＋i 3－ 2i 3－ 2i ＝i6＋i＝－1＋i. 10.已知复数 z＝1－i2＋31＋i 2－i . (1)求复数 z； (2)若 z2＋az＋b＝1－i，求实数 a，b 的值. 解 (1)z＝－2i＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝3＋i2＋i 5 ＝1＋i. (2)把 z＝1＋i 代入 z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得 a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以 a＋b＝1， 2＋a＝－1， 解得 a＝－3， b＝4. 11.若复数 5 －3－i 的实部与虚部分别为 a，b，则点 A(b，a)必在下列哪个函数的图象上( ) A.y＝2x B.y＝x＋1 2x C.y＝|x| D.y＝－2x2－1 答案 D 解析 因为 5 －3－i ＝ 5－3＋i －3－i－3＋i ＝－3 2 ＋1 2i， 所以 a＝－3 2 ，b＝1 2 ，所以 A 1 2 ，－3 2 ， 把点 A 的坐标分别代入选项，只有 D 选项满足. 12.已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1＋2i 2－i ，z 的共轭复数为 z ，则 z· z 等于( ) A.1 B.－1 C.25 9 D.－25 9 答案 A 解析 依题意，得 z＝1＋2i2＋i 2－i2＋i ＝i， 所以 z ＝－i，所以 z· z ＝i·(－i)＝1. 13.设复数 z＝－2＋i，若复数 z＋1 z 的虚部为 b，则 b＝________. 答案 4 5 解析 因为 z＝－2＋i，所以 z＋1 z ＝－2＋i＋ 1 －2＋i ＝－2＋i＋ －2－i －2＋i－2－i ＝－2＋i－2 5 －1 5i ＝－12 5 ＋4 5i， 所以 b＝4 5. 14.定义一种运算： a b c d ＝ad－bc.则复数 1＋i －1 2 3i 的共轭复数是________. 答案 －1－3i 解析 ∵ 1＋i －1 2 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i， ∴其共轭复数为－1－3i. 15.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知 z＝ a 1－2i ＋bi(a， b∈R)为“理想复数”，则( ) A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0 C.a＋5b＝0 D.3a＋5b＝0 答案 D 解析 因为 z＝ a 1－2i ＋bi＝ a1＋2i 1－2i1＋2i ＋bi＝a 5 ＋ 2a 5 ＋b i.由题意知，a 5 ＝－2a 5 －b，则 3a ＋5b＝0. 16.设 z 是虚数，ω＝z＋1 z 是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设μ＝1－z 1＋z ，求证：μ为纯虚数. (1)解 因为 z 是虚数， 所以可设 z＝x＋yi(x，y∈R，且 y≠0)， 则ω＝z＋1 z ＝(x＋yi)＋ 1 x＋yi ＝x＋yi＋ x－yi x2＋y2 ＝ x＋ x x2＋y2 ＋ y－ y x2＋y2 i. 因为ω是实数，且 y≠0， 所以 y－ y x2＋y2 ＝0，即 x2＋y2＝1. 所以|z|＝1，此时ω＝2x. 又－1<ω<2，所以－1<2x<2. 所以－1 2