高考卷 普通高等学校招生考试安徽理 12页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 至 第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4Πr2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式 1+2+…+n 2 )1( nn V= 3 3 4 R 12+22+…+n2= 6 )12)(1(  nnn 其中 R 表示球的半径 13+23++n3= 4 )1( 22 nn 第Ⅰ卷（选择题共 55 分） 一、选择题：本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1)下列函数中，反函数是其自身的函数为 (A)   ,0,)( 3 xxxf （B）   ,,)( 3 xxxf (C) ),(,)(  xcxf x (D) ),0(,1)(  xxxf (2)设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面  内，“l   ”是“l  m 且 l  n”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 (3)若对任意 x R,不等式 x ≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是 (A)a＜－1 (B) a ≤1 (C) a ＜1 （D）a≥1 （4）若 a 为实数， i ai 21 2   ＝－ 2 i，则 a 等于 （A） 2 （B）－ 2 （C）2 2 （D）－2 2 （5）若  22 2 8xA x     ，  2R | log | 1}B x x   ，则 )(CR BA  的元素个数 为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （6）函数 π( ) 3sin(2 )3f x x  的图象为 C，： ①图象C 关于直线  12 11x 对称; ②函数 )(xf 在区间 )12 π5,12 π( 内是增函数; ③由 xy 2sin3 的图象向右平移 3 π 个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中正确论断的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7）如果点 P 在平面区域       02 012 022 yx yx yx 上，点Q 在曲线 1)2( 22  yx 上，那么 QP 的最小值为 （A） 15  （B） 1 5 4  （C） 122  （D） 12  （8）半径为 1 的球面上的四点 DCBA ,,, 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离 为 （A） )3 3arccos( （B） )3 6arccos( （C） )3 1arccos( （D） )4 1arccos( （9）如图， 1F 和 2F 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b r a x  的两 个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以 1FO 为半径的圆与该双曲 线左支的两个交点，且△ ABF2 是等边三角形，则双曲线的离 心率为 （A） 3 （B） 5 （C） 2 5 （D） 31 （10）以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量 服从正态 分布 ),( 2N ，则概率 ( )P     等于 （A） )(   － )(   （B） )1()1(  （C） )1(    （D） )(2   （11）定义在 R 上的函数 )(xf 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程 0)( xf 在闭区间  TT, 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为 （A）0 （B）1 （C）3 （D）5 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 第Ⅱ卷(非选择题 共 95 分) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x3+ x 1 )n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 n 等于 . （13）在四面体 O－ABC 中， , , ,OA a OB b OC c D        为 BC 的中点，E 为 AD 的中点， 则OE = （用 , ,a b c    表示）. （14）如图，抛物线 y=－x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依 次记为 P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物 线的交点依次为 Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到 n－1 个直角 三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－1Pn－1,当 n→∞时，这 些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几 何 形 体 的 4 个 顶 点 ， 这 些 几 何 形 体 是 （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分 12 分） 已知 0＜a＜ )82cos()(,4   xxf为 的最小正周期， ),1),4 1(tan(  aa 求   sincos )(2sincos2 2   . (17) (本小题满分 14 分) 如图，在六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形，DD1⊥平面 A1B1C1D1，DD1⊥平面 ABCD，DD1＝2. （Ⅰ）求证：A1C1 与 AC 共面，B1D1 与 BD 共面； （Ⅱ）求证：平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1； （Ⅲ）求二面角 A－BB1－C 的大小（用反三角函数值表示）. (18) (本小题满分 14 分) 设 a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令 F（x）＝xf＇（x），讨论 F（x）在（0.＋∞）内的 单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当 x>1 时，恒有 x>ln2x－2a ln x＋1. (19) (本小题满分 12 分) 如图，曲线 G 的方程为 y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以 t（t >0）为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. （Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式； （Ⅱ）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a＋2，求证：直线 CD 的斜率为定值. (20) (本小题满分 13 分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混 入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔， 让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的 只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望 Eξ； （Ⅲ）求概率 P（ξ≥Eξ）. (21) (本小题满分 14 分) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每 年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目 a1，a2，…是一 个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计 算复利.这就是说，如果固定年利率为 r（r>0），那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备 金就变为 a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为 a2（1＋r）a－2，……，以 Tn 表示到 第 n 年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出 Tn 与 Tn－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列. 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 55 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B C C A C D B D (1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为 ),0(,1)(  xxxf ，选 D。 (2) 设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面  内，“l   ”，则“l  m 且 l  n”，反之若“l  m 且 l  n”，当 m//n 时，推不出“l   ”，∴ “l   ”是“l  m 且 l  n”的充分不必要条件，选 A。 (3)若对任意 x R,不等式 x ≥ax 恒成立，当 x≥0 时，x≥ax，a≤1，当 x<0 时，－x≥ax， ∴a≥－1，综上得 1 1a   ，即实数 a 的取值范围是 a ≤1，选 B。 （4）若 a 为实数， i ai 21 2   ＝－ 2 i，则 2 2 2ai i   ，a=－ 2 ，选 B。 （5）  22 2 8xA x     ={0,1}，  2R | log | 1}B x x   = 1{ | 2 0 }2x x x  或 ， ∴ )(CR BA ={0,1}，其中的元素个数为 2，选 C。 （6）函数 )3 π2sin(3)(  xxf 的图象为 C ①图象C 关于直线 2 3 2x k    对称，当 k=1 时，图象 C 关于  12 11x 对称；①正 确；②x∈ )12 π5,12 π( 时，2 3x  ∈(－ 2  ， 2  )，∴ 函数 )(xf 在区间 )12 π5,12 π( 内是 增 函 数 ； ② 正 确 ； ③ 由 xy 2sin3 的 图 象 向 右 平 移 3 π 个 单 位 长 度 可 以 得 到 23sin(2 )3y x   ，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有 2 个，选 C。 （7）点 P 在平面区域       02 012 022 yx yx yx 上，画出可 行域如图，点 Q 在圆 1)2( 22  yx 上， 那么 QP 的最小值为圆心(0，－2)到直线 x －2y+1=0 的距离减去半径 1，即为 5 －1， 选 A。 （8）半径为 1 的球面上的四点 DCBA ,,, 是正四 面体的顶点，设 AB=a，P 为△BCD 的中心，O 为球心，则 OB=1，OP= 3 1 ，BP= 3 3 a， 由 2 2 2OB OP BP  解得 2 6 3a  ，∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－ 3 1 )，∴ A 与 B 两点间的球面距离为 )3 1arccos( ，选 C。 （9）如图， 1F 和 2F 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b r a x  的两 个焦点， A 和 B 是以O 为圆心，以 1FO 为半径的圆与该双曲 线左支的两个交点，且△ ABF2 是等边三角形，连接 AF1，∠ AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|= 3 c，∴ 2 ( 3 1)a c  ，双曲线的离心率为 31 ，选 D。 （10）以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量 服从正态 分 布 ),( 2N ， 则 概 率 ( )P     = ( ) ( )P P      = ( )      － ( )      = )1()1(  ，选 B。 （11）定义在 R 上的函数 )(xf 是奇函数， (0) 0f  ，又是周期函数，T 是它的一个正周期， ∴ ( ) ( ) 0f T f T   ， ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 T T T Tf f f T f       ，∴ ( ) ( ) 02 2 T Tf f   ， 则 n 可能为 5，选 D。 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分． 题号 12 13 14 15 答案 7 1 1 1 2 4 4a b c    1 3 ①③④⑤ (12)若(2x3+ x 1 )n 的展开式中含有常数项， 3 1 1(2 ) ( )n r n r r r nT C x x      为常数项，即 73 2 rn  =0，当 n=7，r=6 时成立，最小的正整数 n 等于 7. （13）在四面体 O－ABC 中， , , ,OA a OB b OC c D        为 BC 的 中 点 ， E 为 AD 的 中 点 ， 则 OE = 1 1 ( )2 2OA AE OA AD OA AO OD            = 1 1 1 1 1( )2 4 2 4 4OA OB OC a b c          . （14）如图，抛物线 y=－x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A(1，0)，将线段 OA 的 n 等分点从左 至右依次记为 P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1， Q2，…，Qn－1，从而得到 n－1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴ 1 1( ,0)k kP n  ， 2 1 2 1 ( 1)( ,1 )k k kQ n n   ， 2 1 1| |n nP P n   ，当 n→∞时，这些三角形的面积 之和的极限为 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ( 1)lim [(1 ) (1 ) (1 )]2n n n n n n       . 整理得 2 2 1( 1) ( 1)( 2)(2 3)1 6lim [ ]2n n n n n n n n      = 3 1 。 (15)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体 的 4 个顶点，这些几何形体是①矩形如 ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个 面为等边三角形的四面体，如 A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如 ACB1D1； ⑤每个面都是直角三角形的四面体，如 AA1DC，所以填①③④⑤。 .三、解答题 16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推 理能力．本小题满分 12 分． 解：因为  为 π( ) cos 2 8f x x     的最小正周期，故 π  ． 因 m·a b ，又 1cos tan 24         a b· · ． 故 1cos tan 24 m        · ． 由于 π0 4   ，所以 2 22cos sin 2( ) 2cos sin(2 2 π) cos sin cos sin               22cos sin 2 2cos (cos sin ) cos sin cos sin              1 tan π2cos 2cos tan 2(2 )1 tan 4 m             · ． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等 有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题 满分 14 分． 解法 1（向量法）： 以 D 为原点，以 1DA DC DD， ， 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz 如图， 则有 1 1 1 1(2 0 0) (2 2 0) (0 2 0) (1 0 2) (11 2) (01 2) (0 0 2)A B C A B C D，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，， ． （Ⅰ）证明： 1 1 1 1( 11 0) ( 2 2 0) (11 0) (2 2 0)AC AC D B DB        ，，， ，，， ，，， ，，∵ ． 1 1 1 12 2AC AC DB D B    ，∴ ． AC ∴ 与 1 1AC  平行， DB  与 1 1D B  平行， 于是 1 1AC 与 AC 共面， 1 1B D 与 BD 共面． （Ⅱ）证明： 1 (0 0 2) ( 2 2 0) 0DD AC     ，， ，，· · ， (2 2 0) ( 2 2 0) 0DB AC     ，， ，，· · ， 1DD AC ∴ ， DB AC  ． 1DD 与 DB 是平面 1 1B BDD 内的两条相交直线． AC ∴ 平面 1 1B BDD ． 又平面 1 1A ACC 过 AC ． ∴平面 1 1A ACC  平面 1 1B BDD ． （Ⅲ）解： 1 1 1( 1 0 2) ( 1 1 2) (0 1 2)AA BB CC        ，，， ， ，， ， ， ． 设 1 1 1( )x y z ， ，n 为平面 1 1A ABB 的法向量， 1 1 12 0AA x z    n· ， 1 1 1 12 0BB x y z     n· ． 于是 1 0y  ，取 1 1z  ，则 1 2x  ， (2 01) ，，n ． 设 2 2 2( )x y z ， ，m 为平面 1 1B BCC 的法向量， 1 2 2 22 0BB x y z     m· ， 1 2 22 0CC y z    m· ． 于是 2 0x  ，取 2 1z  ，则 2 2y  ， (0 21) ，，m ． 1cos 5  ， m nm n m n · ． A B CD 1A 1B 1C1D x y z ∴二面角 1A BB C  的大小为 1π arccos 5  ． 解法 2（综合法）： （Ⅰ）证明： 1D D ∵ 平面 1 1 1 1A B C D ， 1D D  平面 ABCD ． 1D D DA∴ ， 1D D DC ，平面 1 1 1 1A B C D ∥平面 ABCD ． 于是 1 1C D CD∥ ， 1 1D A DA∥ ． 设 E F， 分别为 DA DC， 的中点，连结 1 1EF A E C F， ， ， 有 1 1 1 1 1 1A E D D C F D D DE DF ， ， ，∥ ∥ ． 1 1A E C F∴ ∥ ， 于是 1 1AC EF∥ ． 由 1DE DF  ，得 EF AC∥ ， 故 1 1AC AC∥ ， 1 1AC 与 AC 共面． 过点 1B 作 1B O  平面 ABCD 于点O ， 则 1 1 1 1B O A E B O C F， ∥ ∥ ，连结OE OF， ， 于是 1 1OE B A ∥ ， 1 1OF B C ∥ ， OE OF∴ ． 1 1 1 1B A A D∵ ， OE AD∴ ． 1 1 1 1B C C D∵ ， OF CD∴ ． 所以点O 在 BD 上，故 1 1D B 与 DB 共面． （Ⅱ）证明： 1D D ∵ 平面 ABCD ， 1D D AC∴ ， 又 BD AC （正方形的对角线互相垂直）， 1D D 与 BD 是平面 1 1B BDD 内的两条相交直线， AC ∴ 平面 1 1B BDD ． 又平面 1 1A ACC 过 AC ，∴平面 1 1A ACC  平面 1 1B BDD ． （Ⅲ）解：∵直线 DB 是直线 1B B 在平面 ABCD 上的射影， AC DB ， 根据三垂线定理，有 1AC B B ． A B CD 1A 1B 1C1D M OE F 过点 A 在平面 1 1ABB A 内作 1AM B B 于 M ，连结 MC MO， ， 则 1B B  平面 AMC ， 于是 1 1B B MC B B MO ， ， 所以， AMC 是二面角 1A B B C  的一个平面角． 根据勾股定理，有 1 1 15 5 6A A C C B B  ， ， ． 1OM B B∵ ，有 1 1 2 3 B O OBOM B B  · ， 2 3BM  ， 10 3AM  ， 10 3CM  ． 2 2 2 1cos 2 5 AM CM ACAMC AM CM     · ， 1π arccos 5AMC   ， 二面角 1A BB C  的大小为 1π arccos 5  ． 18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等 式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分 14 分． （Ⅰ）解：根据求导法则有 2ln 2( ) 1 0x af x xx x     ， ， 故 ( ) ( ) 2ln 2 0F x xf x x x a x    ， ， 于是 2 2( ) 1 0xF x xx x     ， ， 列表如下： x (0 2)， 2 (2 )， ∞ ( )F x  0  ( )F x  极小值 (2)F  故知 ( )F x 在 (0 2)， 内是减函数，在 (2 )， ∞ 内是增函数，所以，在 2x  处取得极小值 (2) 2 2ln 2 2F a   ． （Ⅱ）证明：由 0a≥ 知， ( )F x 的极小值 (2) 2 2ln 2 2 0F a    ． 于是由上表知，对一切 (0 )x ， ∞ ，恒有 ( ) ( ) 0F x xf x  ． 从而当 0x  时，恒有 ( ) 0f x  ，故 ( )f x 在 (0 )， ∞ 内单调增加． 所以当 1x  时， ( ) (1) 0f x f  ，即 21 ln 2 ln 0x x a x    ． 故当 1x  时，恒有 2ln 2 ln 1x x a x   ． 19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直 线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问 题的能力．本小题满分 12 分． 解：（Ⅰ）由题意知， ( 2 )A a a， ． 因为 OA t ，所以 2 22a a t  ． 由于 0t  ，故有 2 2t a a  ． （1） 由点 (0 ) ( 0)B t C c， ， ， 的坐标知， 直线 BC 的方程为 1x y c t   ． 又因点 A 在直线 BC 上，故有 2 1a a c t   ， 将（1）代入上式，得 2 1 ( 2) a a c a a    ， 解得 2 2( 2)c a a    ． （Ⅱ）因为 ( 2 2( 2))D a a ， ，所以直线CD 的斜率为 2( 2) 2( 2) 2( 2) 12 2 ( 2 2( 2)) 2( 2)CD a a ak a c a a a a                ． 所以直线CD 的斜率为定值． 20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望 的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分 13 分． 解：（Ⅰ） 的分布列为：  0 1 2 3 4 5 6 P 7 28 6 28 5 28 4 28 3 28 2 28 1 28 （Ⅱ）数学期望为 2 (1 6 2 5 3 4) 228E        ． x y B A O a 2a  Ｃ D 2: 2G y x （Ⅲ）所求的概率为 5 4 3 2 1 15( ) ( 2) 28 28P E P        ≥ ≥ ． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取 信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分 14 分． 解：（Ⅰ）我们有 1(1 ) ( 2)n n nT T r a n   ≥ ． （Ⅱ） 1 1T a ，对 2n≥ 反复使用上述关系式，得 2 1 2 1(1 ) (1 ) (1 )n n n n n nT T r a T r a r a            1 2 1 2 1(1 ) (1 ) (1 )n n n na r a r a r a          ， ① 在①式两端同乘1 r ，得 1 2 1 2 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n n n nr T a r a r a r a r           ② ②  ①，得 1 2 1(1 ) [(1 ) (1 ) (1 )]n n n n nrT a r d r r r a           1[(1 ) 1 ] (1 )n n n d r r a r ar        ． 即 1 1 2 2(1 )n n a r d a r ddT r nr r r      ． 如果记 1 2 (1 )n n a r dA rr   ， 1 2n a r d dB nr r    ， 则 n n nT A B  ． 其中  nA 是以 1 2 (1 )a r d rr   为首项，以 1 ( 0)r r  为公比的等比数列；  nB 是以 1 2 a r d d r r   为首项， d r  为公差的等差数列．