2020年高中数学新教材同步必修第二册 第7章7.2 复数的四则运算 9页

7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能 够利用“数形结合”的思想解题. 知识点一 复数加法与减法的运算法则 1.设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意 z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识点二 复数加减法的几何意义 如图，设复数 z1，z2 对应向量分别为OZ1 → ，OZ2 → ，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，向量OZ→与复 数 z1＋z2 对应，向量Z2Z1 → 与复数 z1－z2 对应. 思考 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ 答案 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离. 1.两个虚数的和或差可能是实数.( √ ) 2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( √ ) 3.复数与复数相加减后结果只能是实数.( × ) 4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( × ) 一、复数代数形式的加、减运算 例 1 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)因为 z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以 3＋x＝5， 2－y＝－6， 所以 x＝2， y＝8， 所以 z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 反思感悟 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆 运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 跟踪训练 1 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)， 在第一象限. 二、复数加减法的几何意义 例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)AO→ 表示的复数； (2)对角线CA→表示的复数； (3)对角线OB→ 表示的复数. 解 (1)因为AO→ ＝－OA→ ， 所以AO→ 表示的复数为－3－2i. (2)因为CA→＝OA→ －OC→ ， 所以对角线CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB→ ＝OA→ ＋OC→ ， 所以对角线OB→ 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思感悟 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中，AB→与AC→对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，两对角 线 AC 与 BD 相交于点 O.求： (1)AD→ 对应的复数； (2)DB→ 对应的复数. 解 (1)因为 ABCD 是平行四边形， 所以AC→＝AB→＋AD→ ，于是AD→ ＝AC→－AB→， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即AD→ 对应的复数是－2＋2i. (2)因为DB→ ＝AB→－AD→ ， 而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB→ 对应的复数是 5. 三、复数模的综合问题 例 3 如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( ) A.1 B.1 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数 z，－i，i，－1－i 在复平面内对应的点分别为 Z，Z1，Z2，Z3， 因为|z＋i|＋|z－i|＝2， |Z1Z2|＝2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 所以 Z 点在线段 Z1Z2 上移动，|Z1Z3|min＝1， 所以|z＋i＋1|min＝1. 反思感悟 |z1－z2|表示复平面内 z1，z2 对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题 转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求 解. 跟踪训练 3 △ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z－z2| ＝|z－z3|，则 z 对应的点是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 A 解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数 z 的对应点 P 到△ABC 的 顶点 A，B，C 的距离相等，∴P 为△ABC 的外心. 1.复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A.－1＋i B.1－i C.i D.－i 答案 A 解析 原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i. 2.已知 z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数 z＝z2－z1 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故 z 对应的点为(－1，－3)，位于第三象限. 3.若复数 z 满足 z＋(3－4i)＝1，则 z 的虚部是( ) A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案 B 解析 ∵z＋(3－4i)＝1， ∴z＝－2＋4i，故 z 的虚部是 4. 4.已知复数 z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2 为纯虚数，则 a＝________. 答案 －1 解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， ∴ a2－a－2＝0， a2＋a－6≠0， 解得 a＝－1. 5.设平行四边形 ABCD 在复平面内，A 为原点，B，D 两点对应的复数分别是 3＋2i 和 2－4i， 则点 C 对应的复数是__________. 答案 5－2i 解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 5 2 ，－1 ，设点 C 坐标为(x，y)，则 x＝5，y ＝－2，故点 C 对应的复数为 5－2i. 1.知识清单： (1)复数代数形式的加减运算法则. (2)复数加减法的几何意义. (3)复平面上两点间的距离公式. 2.方法归纳：类比、数形结合. 3.常见误区：忽视模的几何意义. 1.已知 z＋5－6i＝3＋4i，则复数 z 为( ) A.－4＋20i B.－2＋10i C.－8＋20i D.－2＋20i 答案 B 解析 z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i. 2.复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数 m 的取值范围是( ) A.m<2 3 B.m<1 C.2 31 答案 B 解析 ∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i， ∴m－1<0，∴m<1. 3.若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则 a 的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.－1 答案 D 解析 z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i ＝5＋(1＋a)i. ∵z1＋z2 所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0，∴a＝－1. 4.如果一个复数与它的模的和为 5＋ 3i，那么这个复数是( ) A.11 5 B. 3i C.11 5 ＋ 3i D.11 5 ＋2 3i 答案 C 解析 设这个复数为 a＋bi(a，b∈R)， 则|a＋bi|＝ a2＋b2. 由题意知 a＋bi＋ a2＋b2＝5＋ 3i， 即 a＋ a2＋b2＋bi＝5＋ 3i， ∴ a＋ a2＋b2＝5， b＝ 3， 解得 a＝11 5 ，b＝ 3. ∴所求复数为11 5 ＋ 3i. 5.在平行四边形 ABCD 中，若 A，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i，则该平行四边形的 对角线 AC 的长度为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 答案 B 解析 依题意，AC→对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i， 因此 AC 的长度为|－3－4i|＝5. 6.已知复数 z 满足 z＋(1＋2i)＝5－i，则 z＝________. 答案 4－3i 解析 z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i. 7.已知|z|＝4，且 z＋2i 是实数，则复数 z＝________. 答案 ±2 3－2i 解析 因为 z＋2i 是实数，可设 z＝a－2i(a∈R)， 由|z|＝4 得 a2＋4＝16， 所以 a2＝12，所以 a＝±2 3， 所以 z＝±2 3－2i. 8.设复数 z 满足 z＋|z|＝2＋i，则 z＝________. 答案 3 4 ＋i 解析 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2. ∴x＋yi＋ x2＋y2＝2＋i. ∴ x＋ x2＋y2＝2， y＝1， 解得 x＝3 4 ， y＝1. ∴z＝3 4 ＋i. 9.计算：(1) 2－1 2i ＋ 1 2 －2i ； (2)(3＋2i)＋( 3－2)i； (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i). 解 (1)原式＝ 2＋1 2 － 1 2 ＋2 i＝5 2 －5 2i； (2)(3＋2i)＋( 3－2)i＝3＋(2＋ 3－2)i＝3＋ 3i； (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i； (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i. 10.在复平面内，复数－3－i 与 5＋i 对应的向量分别是OA→ 与OB→ ，其中 O 是原点，求向量OA→ ＋OB→ 与BA→对应的复数及 A，B 两点之间的距离. 解 因为复数－3－i 与 5＋i 对应的向量分别是OA→ 与OB→ ，其中 O 是原点，所以OA→ ＝(－3， －1)，OB→ ＝(5,1)， 所以OA→ ＋OB→ ＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)， 所以向量OA→ ＋OB→ 对应的复数是 2， 又BA→＝OA→ －OB→ ＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)， 所以BA→对应的复数是－8－2i， A，B 两点之间的距离|BA→|＝|－8－2i|＝ －82＋－22＝2 17. 11.在复平面内点 A，B，C 所对应的复数分别为 1＋3i，－i，2＋i，若AD→ ＝BC→，则点 D 表示 的复数是( ) A.1－3i B.－3－i C.3＋5i D.5＋3i 答案 C 解析 ∵点 A，B，C 对应的复数分别为 1＋3i，－i,2＋i， ∴BC→对应的复数为 2＋2i.设 D(x，y)， ∵AD→ ＝BC→，∴(x－1，y－3)＝(2,2)， ∴ x－1＝2， y－3＝2， 解得 x＝3， y＝5. ∴点 D 表示的复数为 3＋5i. 12.复数 z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( ) A.3－2 2 B. 2－1 C.3＋2 2 D. 2＋1 答案 D 解析 |z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝ 1－sin θ2＋1＋cos θ2 ＝ 3＋2cos θ－sin θ ＝ 3＋2 2cos θ＋π 4 . ∵|cos θ＋π 4 |max＝1， ∴|z1－z2|max＝ 3＋2 2＝ 2＋1. 13.A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面上对应的两点，O 为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB 为________. 答案 直角三角形 解析 由复数的加、减法的几何意义可知， 当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°. 14.在复平面内，O 是原点，OA→ ，OC→ ，AB→对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么BC→对应 的复数为________. 答案 4－4i 解析 因为OA→ ，OC→ ，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，BC→＝OC→ －OB→ ＝OC→ －(OA→ ＋AB→) ＝3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i. 15.若复数 z 满足 z－1＝cos θ＋isin θ，则|z|的最小值为______，|z|的最大值为______. 答案 0 2 解析 ∵|z－1|＝1， ∴复数 z 对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，1 为半径的圆， ∴|z|的最小值为 0，最大值为 2. 16.已知复平面内平行四边形 ABCD，A 点对应的复数为 2＋i，向量BA→对应的复数为 1＋2i， 向量BC→对应的复数为 3－i. (1)求点 C，D 对应的复数； (2)求平行四边形 ABCD 的面积. 解 (1)∵向量BA→对应的复数为 1＋2i，向量BC→对应的复数为 3－i，AC→＝BC→－BA→， ∴向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC→ ＝OA→ ＋AC→， ∴点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD→ ＝BC→，∴向量AD→ 对应的复数为 3－i， 即AD→ ＝(3，－1). 设 D(x，y)，则AD→ ＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， ∴ x－2＝3， y－1＝－1， 解得 x＝5， y＝0. ∴点 D 对应的复数为 5. (2)∵BA→·BC→＝|BA→||BC→|cos B， ∴cos B＝ BA→·BC→ |BA→||BC→| ＝ 3－2 5× 10 ＝ 1 5 2 ＝ 2 10. ∴sin B＝7 2 10 . ∵S▱ABCD＝|BA→||BC→|sin B＝ 5× 10×7 2 10 ＝7， 故平行四边形 ABCD 的面积为 7.