2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（二十九） 求解空间几何体问题的2环节识图与计算 6页

高考达标检测（二十九） 求解空间几何体问题的 2 环节 ——识图与计算 一、选择题 1．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，E 是 AB 的三等分点，G，N 是 CD 的三 等分点，F，H 分别是 BC，MN 的中点，则四棱锥 A1EFGH 的侧视图是( ) 解析：选 C 由直观图可知，点 A1，H，E，F 在平面 CDD1C1 的射影分别为 D1，N， G，C，在平面 CDD1C1，连接 D1，N，G，C 四点，从左侧看可知图形为选项 C. 2.(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( ) A．1 B. 5 2 C. 6 D．2 3 解析：选 D 由题意得，该几何体的直观图为三棱锥 ABCD，如图，其最大面的表面 是边长为 2 2的等边三角形，故其面积为 3 4 ×(2 2)2＝2 3. 3．已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 24π＋48，则该几何体 的表面积为( ) A．24π＋48 B．24π＋90＋6 41 C．48π＋48 D．24π＋66＋6 41 解析：选 D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 3r、高 为 4r 的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为 3r 的等腰直角三角形、高为 4r 的三 棱锥，则1 4 ×1 3π(3r)2×4r＋1 3 ×1 2 ×3r×3r×4r＝24π＋48，解得 r＝2，则该几何体的表面积为 1 4 ×π×6×10＋1 4 ×π×62＋1 2 ×6×6＋2×1 2 ×6×8＋1 2 ×6 2× 82＝24π＋66＋6 41. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．60－12π B．60－6π C．72－12π D．72－6π 解析：选 D 根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体， 且四棱柱的底面是等腰梯形，高为 3， 所以该组合体的体积为 V＝1 2 ×(4＋8)×4×3－1 2π×22×3＝72－6π. 5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则 此四面体的外接球的体积为( ) A.4π 3 B．3π C. 3 2 π D．π 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是棱长为 1 的正方体截去 4 个角的小三棱锥后的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于 正方体的对角线，即 R＝ 3 2 ，所以外接球的体积 V＝4 3πR3＝ 3 2 π. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．72 B．48 C．24 D．16 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为 2,4， 高是 6 的直角梯形，棱锥的高是 4，则该几何体的体积 V＝1 3 ×1 2 ×(2＋4)×6×4＝24. 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.123 5 π B.124 3 π C.153 4 π D.161 5 π 解析：选 D 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为 3、底边长为 4 的等 腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面．设等腰三角形的顶角为θ， 由余弦定理可得 cos θ＝32＋32－42 2×3×3 ＝1 9 ，sin θ＝4 5 9 ，由正弦定理可得底面三角形外接圆的 直径 2r＝ 9 5 ，则球的直径 2R＝ 42＋ 9 5 2＝ 161 5 ，所以外接球的表面积为161 5 π. 8．(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥ BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( ) A．4π B.9π 2 C．6π D.32π 3 解析：选 B 设球的半径为 R， ∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－10 2 ＝2， ∴R≤2.又 2R≤3， ∴R≤3 2 ， ∴Vmax＝4 3 ×π× 3 2 3＝9π 2 . 二、填空题 9．四面体 ABCD 中，若 AB＝CD＝ 2，AC＝BD＝ 3，AD＝BC＝2，则四面体 ABCD 的外接球的体积是________． 解析：作一个长方体，面对角线分别为 2，3，2， 设长方体的三棱长分别为 x，y，z， 则 x2＋y2＝2， x2＋z2＝3， y2＋z2＝4， 则该长方体的体对角线为 x2＋y2＋z2＝3 2 2 ， 则该长方体的外接球即为四面体 ABCD 的外接球， 则外接球的半径为 R＝ x2＋y2＋z2 2 ＝3 2 4 ，体积为 V＝4 3π 3 2 4 3＝9 2 8 π. 答案：9 2 8 π 10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长 为 2 的等腰三角形，则正视图的面积为________． 解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为 2 的正三角 形，则该正三棱锥的侧棱长为 2，其三棱锥的高  22－ 2 3 × 3 2＝ 6 3 即为正视图的高， 又正视图是底边长为 2 的等腰三角形，则正视图的面积 S＝1 2 ×2× 6 3 ＝ 6 3 . 答案： 6 3 11．若三棱锥 SABC 的所有的顶点都在球 O 的球面上，SA⊥平面 ABC，SA＝AB＝2， AC＝4，∠BAC＝π 3 ，则球 O 的表面积为________． 解析：由题意，得三棱锥 SABC 是长方体的一部分(如图所示)， 所以球 O 是该长方体的外接球， 其中 SA＝AB＝2，AC＝4， 设球的半径为 R， 则 2R＝ AC2＋SA2＝ 42＋22＝2 5， 所以球 O 的表面积为 4πR2＝20π. 答案：20π 12.(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸 片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分 别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕 折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时， 所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________． 解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时， 设△ABC 的边长为 a(a>0)cm，则△ABC 的面积为 3 4 a2，△DBC 的高为 5－ 3 6 a，则正三棱 锥的高为 5－ 3 6 a 2－ 3 6 a 2＝ 25－5 3 3 a，∴25－5 3 3 a>0，∴00，即 x4－2x3<0，得 0