2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（三十） 平行问题3角度线线线面面面 6页

高考达标检测（三十） 平行问题 3 角度 ——线线、线面、面面 一、选择题 1．(2018·惠州模拟)设直线 l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是( ) A．l⊂α，m⊂α，且 l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且 l∥m C．l⊥α，m⊥β，且 l∥m D．l∥α，m∥β，且 l∥m 解析：选 C 借助正方体模型进行判断．易排除选项 A、B、D，故选 C. 2.如图，在长方体 ABCDA′B′C′D′中，下列直线与平面 AD′C 平行的是( ) A．B′C′ B．A′B C．A′B′ D．BB′ 解析：选 B 连接 A′B，∵A′B∥CD′，CD′⊂平面 AD′C， ∴A′B∥平面 AD′C. 3．设α，β是两个不同的平面，m，n 是平面α内的两条不同直线，l1，l2 是平面β内的两 条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( ) A．m∥l1 且 n∥l2 B．m∥β且 n∥l2 C．m∥β且 n∥β D．m∥β且 l1∥α 解析：选 A 由 m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得 l1∥α，同理 l2∥α， 又 l1，l2 相交，所以α∥β，反之不成立， 所以 m∥l1 且 n∥l2 是α∥β的一个充分不必要条件． 4．(2018·福州模拟)已知直线 a，b 异面，给出以下命题： ①一定存在平行于 a 的平面α使 b⊥α； ②一定存在平行于 a 的平面α使 b∥α； ③一定存在平行于 a 的平面α使 b⊂α； ④一定存在无数个平行于 a 的平面α与 b 交于一定点． 则其中命题正确的是( ) A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 解析：选 D 对于①，若存在平面α使得 b⊥α，则有 b⊥a，而直线 a，b 未必垂直，因 此①不正确； 对于②，注意到过直线 a，b 外一点 M 分别引直线 a，b 的平行线 a1，b1，显然由直线 a1，b1 可确定平面α，此时平面α与直线 a，b 均平行，因此②正确； 对于③，注意到过直线 b 上的一点 B 作直线 a2 与直线 a 平行，显然由直线 b 与 a2 可确 定平面α，此时平面α与直线 a 平行，且 b⊂α，因此③正确； 对于④，在直线 b 上取一定点 N，过点 N 作直线 c 与直线 a 平行，经过直线 c 的平面(除 由直线 a 与 c 所确定的平面及直线 c 与 b 所确定的平面之外)均与直线 a 平行，且与直线 b 相交于一定点 N，因此④正确． 综上所述，②③④正确． 5．如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面 一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG， ∴A1D1∥FG 且 A1D1⊄平面 EFGH， ∴A1D1∥平面 EFGH(水面)． ∴③是正确的； 对于④，∵水是定量的(定体积 V)， ∴S△BEF·BC＝V，即 1 2BE·BF·BC＝V. ∴BE·BF＝2V BC(定值)，即④是正确的，故选 C. 6．(2018·合肥模拟)在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE∶ EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．在平面内 D．不能确定 解析：选 A 如图，由AE EB ＝CF FB 得 AC∥EF. 又因为 EF⊂平面 DEF，AC⊄平面 DEF， 所以 AC∥平面 DEF. 二、填空题 7．有下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α； ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③若平面α与平面β平行，直线 l 在平面α内，则 l∥β； ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 解析：①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α或 l 与α相交，故①错误； ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线平行或异面，故②错误； ③由面面平行的定义可知，③正确； ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故④正确． 答案：③④ 8．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，则点 Q 满足条件________时，有平面 D1BQ∥平面 PAO. 解析：如图所示，假设 Q 为 CC1 的中点， 因为 P 为 DD1 的中点，所以 QB∥PA. 连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点， 所以 D1B∥PO， 又 D1B⊄平面 PAO，QB⊄平面 PAO， 所以 D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO， 又 D1B∩QB＝B，所以平面 D1BQ∥平面 PAO. 故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的中点时，有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案：Q 为 CC1 的中点 9．如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 为正方形，E，F 分别为侧棱 VC，VB 上 的点，且满足 VC＝3EC，AF∥平面 BDE，则VB FB ＝________. 解析：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 EO，取 VE 的中点 M，连接 AM，MF，由 VC＝3EC⇒VM＝ME＝EC，又 AO＝CO⇒AM∥EO⇒AM ∥平面 BDE，又由题意知 AF∥平面 BDE，且 AF∩AM＝A，∴平面 AMF∥平面 BDE⇒MF∥平面 BDE⇒MF∥BE⇒VF＝FB⇒VB FB ＝2. 答案：2 三、解答题 10.如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC， AB⊥BC，D 为 AC 的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：AB1∥平面 BC1D； (2)设 BC＝3，求四棱锥 B AA1C1D 的体积． 解：(1)证明：连接 B1C，设 B1C 与 BC1 相交于点 O，连接 OD. ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形， ∴点 O 为 B1C 的中点． ∵D 为 AC 的中点， ∴OD 为△AB1C 的中位线， ∴OD∥AB1. ∵OD⊂平面 BC1D， AB1⊄平面 BC1D， ∴AB1∥平面 BC1D. (2)∵AA1⊥平面 ABC，AA1⊂平面 AA1C1C， ∴平面 ABC⊥平面 AA1C1C. ∵平面 ABC∩平面 AA1C1C＝AC， 作 BE⊥AC，垂足为 E， 则 BE⊥平面 AA1C1C. ∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC， ∴在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝ 4＋9＝ 13， ∴BE＝AB·BC AC ＝ 6 13 ， ∴四棱锥 B AA1C1D 的体积 V＝1 3 ×1 2(A1C1＋AD)·AA1·BE＝1 6 ×3 2 13×2× 6 13 ＝3. 11．如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F 分别在 BC，AD 上，EF∥AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起，使平面 ABEF⊥平面 EFDC. 若 BE＝1，在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P，且 AP―→＝λ PD―→，使得 CP∥平面 ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由． 解：AD 上存在一点 P，使得 CP∥平面 ABEF，此时λ＝3 2. 理由如下： 当λ＝3 2 时， AP―→＝3 2 PD―→，可知AP AD ＝3 5 ， 如图，过点 P 作 MP∥FD 交 AF 于点 M，连接 EM，PC， 则有MP FD ＝AP AD ＝3 5 ， 又 BE＝1，可得 FD＝5，故 MP＝3， 又 EC＝3，MP∥FD∥EC，所以 MP 綊 EC， 故四边形 MPCE 为平行四边形， 所以 CP∥ME，又 CP⊄平面 ABEF，ME⊂平面 ABEF， 所以 CP∥平面 ABEF. 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，PA＝AB＝2，E 为 PA 的中点，∠BAD＝60°. (1)求证：PC∥平面 EBD； (2)求三棱锥 PEDC 的体积． 解：(1)证明：设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 OE.由题意知，底面 ABCD 是菱形，则 O 为 AC 的中点，又 E 为 AP 的中点，所以 OE∥PC.因为 OE⊂平面 EBD，PC⊄平面 EBD， 所以 PC∥平面 EBD. (2)S△PCE＝1 2S△PAC＝1 2 ×1 2 ×2 3×2＝ 3.因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AC⊥BD.因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD.又 PA∩AC＝A， 所以 DO⊥平面 PAC，即 DO 是三棱锥 DPCE 的高，且 DO＝1，则 VPEDC＝VDPCE＝1 3 × 3×1＝ 3 3 . 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形，BC∥AD，△ ABD 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别为 AD，A1D1 的中点． (1)求证：DD1⊥平面 ABCD； (2)求证：平面 A1BE⊥平面 ADD1A1； (3)若 CF∥平面 A1BE，求棱 BC 的长度． 解：(1)证明：因为侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形， 所以 DD1⊥AD，且 DD1⊥CD. 因为 AD∩CD＝D， 所以 DD1⊥平面 ABCD. (2)证明：因为△ABD 是正三角形，且 E 为 AD 中点， 所以 BE⊥AD. 因为 DD1⊥平面 ABCD， 而 BE⊂平面 ABCD， 所以 BE⊥DD1. 因为 AD∩DD1＝D， 所以 BE⊥平面 ADD1A1. 因为 BE⊂平面 A1BE， 所以平面 A1BE⊥平面 ADD1A1. (3)因为 BC∥AD， 而 F 为 A1D1 的中点， 所以 BC∥A1F. 所以 B，C，F，A1 四点共面． 因为 CF∥平面 A1BE， 而平面 BCFA1∩平面 A1BE＝A1B， 所以 CF∥A1B. 所以四边形 BCFA1 为平行四边形． 所以 BC＝A1F＝1 2AD＝1.