北师版高中数学必修一第5讲：函数的单调性（教师版） 9页

1 函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性； 2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用； 一、函数单调性的定义 1、图形描述： 对于函数 )(xf 的定义域 I 内某个区间 D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说 函数 )(xf 在区间 D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数 )(xf 在区间 D 上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数 )(xf 的定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 21, xx ， （1）若当 1x  2x 时，都有 1( )f x  )( 2xf ,则说 )(xf 在区间 D 上是增函数； （2）若当 1x  2x 时，都有 )( 1xf  )( 2xf ,则说 )(xf 在区间 D 上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数 y = )(xf 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 )(xf 在这一区间具有（严格的） 单调性，这一区间叫做函数 )(xf 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间 上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数， 而在另一些区间上不是增函数.例如函数 2xy  （图 1），当  0,x   时是增函数，当  ,0x   时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、 21, xx 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 二、用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设 21, xx 是区间上的任意两个实数，且 1x < 2x ； 2、作差定符号：即    1 2f x f x ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差 2 的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。 三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数  y f x  与函数  y f x 的单调性相反 2、当  f x 恒为正或恒为负时，函数   1y f x  与函数  y f x 的单调性相反 3、在公共区间内，增函数  增函数 增函数，增函数 减函数 增函数，减函数 增函数 减 函数。 四、复合函数单调性的判断 对于函数 )(ufy  和 )(xgu  ，如果 )(xgu  在区间 ),( ba 上是具有单调性，当 ),( bax  时， ),( nmu  ，且 )(ufy  在区间 ),( nm 上也具有单调性，则复合函数 ))(( xgfy  在区间 ),( ba 具有 单调性的规律见下表： )(ufy  ),( nmu  增 ↗ 减 ↘ )(xgu  ),( bax  增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))(( xgfy  ),( bax  增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同增异减”。 类型一用定义证明函数的单调性 例 1：证明：函数 f(x)＝2x2＋4x 在(－∞，－1]上是减函数． 解析：设 x10， Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1) ＝2(x－x)＋4(x2－x1) ＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)． ∵x10， Δy＝f(x2)－f(x1)＝－ x2－(－ x1)＝ x1－ x2 ＝ x1－ x2 x1＋ x2 x1＋ x2 ＝ x1－x2 x1＋ x2. ∵x1－x2＝－Δx<0， x1＋ x2>0，Δy<0. ∴f(x)＝－ x在[0，＋∞)上是减函数． 练习 2：(2014～2015 学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数 f(x)= 退2 退1 ,用单调性定义 证明在（-1，+ ∞ ）上是减函数。 答案：设任意 x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且 x10. Δy＝f(x2)－f(x1)＝a x1x2＋1 x1－x2 x2 1－1 x2 2－1 ， ∵－10，x2 1－1<0，x2 2－1<0， ∴ x1x2＋1 x1－x2 x2 1－1 x2 2－1 <0， ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数． 答案：增函数． 练习 1：判断函数 f(x)＝a x (a 为常数且 a≠0)在(0，＋∞)上的单调性． 答案：当 a>0 时， f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当 a<0 时， f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 练习 2：判断函数     2 0x af x ax    在 ,0 上的单调性 答案：单调递减函数 类型三 证明抽象函数的单调性 例 3：已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x)＝ 1 f x 在(0， ＋∞)上的单调性，并证明． 解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明： 任取 x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x1>0. ∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝ 1 f x2 － 1 f x1 ＝f x1 －f x2 f x2 f x1 ， 又 y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x1>0， ∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)， ∴f(x1)－f(x2)<0. 而 f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0， 4 ∴F(x2)－F(x1)<0， ∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数． 答案：减函数 练习 1：已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x)＝f ²(x)在(0， ＋∞)上的单调性，并证明 答案：增函数 练习 2：(2014～2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数 f(x)＝x²＋2x＋3 在[－1， ＋∞)的单调性为____ 答案：增函数。 类型四 求函数的单调区间 例 4：求函数 y＝x＋1 x ，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象． 解析：设 x1、x2 是任意两个不相等的正数，且 x10， Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋1 x2 )－(x1＋1 x1 )＝(x2－x1)＋x1－x2 x1x2 ＝(x2－x1)x1x2－1 x1x2 . 由于 00，x1x2>0， 当 x1、x2∈(0,1]时，有 x1x2－1<0，此时Δy<0； 当 x1、x2∈(1，＋∞)时，有 x1x2－1>0，此时Δy>0， 即函数 y＝x＋1 x ，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)． 函数的大致图象如图所示． 答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。 练习 1：求函数 f(x)＝ 1 1－x 的单调区间． 答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)． 练习 2：函数  2 1 1 x xy x    的单调递减区间是 答案：  1,2 和 2, 。 类型五 利用单调性解不等式 例 5：已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)a2－1，③ 由①得 00 a＋2<0 或 a－1<0 a＋2>0 ， ∴－20， 则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋ x2－1)－(x1＋ x1－1) ＝(x2－x1)＋( x2－1－ x1－1) ＝(x2－x1)＋ x2－x1 x2－1＋ x1－1 ＝(x2－x1)· 1＋ 1 x1－1＋ x2－1 . ∵Δx＝x2－x1>0,1＋ 1 x1－1＋ x2－1 >0， ∴f(x2)－f(x1)>0. ∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1. 答案：1 练习 1: (2014～2015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)已知f(x)＝ 1 x－1 ，x∈[2,6]， 求函数 f(x)的最大值和最小值． 答案：f(x)max＝f(2)＝1, f(x)min＝f(6)＝1 5 . 练习 2: 函数 1y x  在 2,2 上的最大值与最小值分别为 。 答案: max min3, 0y y  6 1、证明函数 3)( xxf   x R 是增函数。 答案：证明：设 21, xx 是 R 上的任意两个实数，且 1x < 2x )xxx)(xx(xxx)f(x)f(x 2 221 2 121 2 2 3 121  ∵ 21 xx  ∴ 021  xx ， 又∵ 04 3)2( 2 222 1 2 221 2 1  xxxxxxx , ∴ 021  )f(x)f(x 即 )f(x)f(x 21  ∴ 3)( xxf  在 R 上是增函数。 2、求函数     2 0x af x ax    的单调区间。 答案： ,0 和 0, 。 3、求函数 xxy 20042  的单调递增区间. 答案： .,2004  4 、 如 果 函 数   2f x x bx c   ， 对 任 意 实 数 t 都 有    2 2f t f t   ， 比 较      1 , 2 , 4f f f 的大小。 答案:      2 1 4f f f  5、已知    2 2 1 2f x x a x    在 ,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围。 答案： 3a   _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A．y＝1 x2 B．y＝x3 C．y＝x0 D．y＝x2 答案：D 2．设函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 是 R 上的增函数，则有( ) A．a>1 2 B．a≤1 2 7 C．a>－1 2 D．a<1 2 答案：A 3．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的 x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不 正确的是( ) A．f x1 －f x2 x1－x2 >0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0 答案：C 4．(2014～2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 f(x)＝－x2＋2ax＋3 在 区间(－∞，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4 答案：D 5．若函数 f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数 f(x)在区间(a， c)上( ) A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性 答案：D 6．(2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是 ( ) A．y＝|x| B．y＝3－2x C．y＝ 1 2＋x D．y＝x2－4x＋3 答案：A ∴函数 y＝|x|在(0,1)上是增函数． 7．(2014～2015 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数 y＝x2＋bx＋c 在区间(－∞，1)上是 减函数时，b 的取值范围是( ) A．b≤－2 B．b≥－2 C．b>－2 D．b<－2 答案：A 能力提升 8 8. (2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数 f(x)＝ x 2x－1 ，证明函数 f(x) 在区间(1，＋∞)上是减函数． 答案: 设任意 x1∈(1，＋∞)，x2∈(1，＋∞)，且 x11，x2>1， ∴2x1－1>0,2x2－1>0， ∴ x1－x2 2x2－1 2x1－1 <0， ∴f(x2)0 时， f(x)<0，f(1) ＝－2 3 . (1)求证：f(x)是 R 上的单调递减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最小值． 答案：(1)证明：设 x1、x2 是任意的两个实数，且 x10， ∵x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， 又∵x2＝(x2－x1)＋x1， ∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)