高中数学必修2教案：3_3_3点到直线的距离和两条平行直线间的距离 11页

3.3.3 点到直线的距离 ‎【教学目标】‎ ‎1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.‎ ‎2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.‎ ‎【重点难点】‎ 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.‎ 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.‎ ‎【教学过程】‎ 导入新课 思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.‎ 思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).‎ 图1‎ 新知探究 提出问题 ‎①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?‎ ‎②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？‎ ‎③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)‎ 活动：‎ ‎①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:‎ ‎(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=；‎ ‎(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=.‎ 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=?‎ 学生应能得到猜想：d=.‎ 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)‎ 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).‎ ‎∴P′N=. (*)‎ ‎∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,‎ ‎∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.‎ 代入(*)得|P′N|=‎ 即d=,. ‎ ‎②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.‎ ‎③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.‎ 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.‎ 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.‎ 讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.‎ ‎②当A=0或B=0时，上述公式也成立.‎ ‎③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.‎ 应用示例 例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：‎ ‎(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.‎ 解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.‎ ‎(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=.‎ 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.‎ 变式训练 ‎ 点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.‎ 解:=4|‎3a-6|=‎20a=20或a=.‎ 例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.‎ 解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.‎ ‎|AB|=，‎ AB边上的高h就是点C到AB的距离.‎ AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.‎ 点C到x+y-4=0的距离为h=，‎ 因此，S△ABC=×=5.‎ 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.‎ 变式训练 ‎ 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.‎ 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.‎ 例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.‎ 解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,‎ d=.‎ 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.‎ 变式训练 ‎ 求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.‎ 答案：.‎ 解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，‎ 则直线MO′的方程为y-3=x.‎ 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，‎ 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.‎ 课堂小结 通过本节学习，要求大家：‎ ‎1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.‎ ‎2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.‎ ‎3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.‎ 当堂检测 ‎ 导学案当堂检测 ‎【板书设计】‎ 一、点到直线距离公式 二、例题 例1‎ 变式1‎ 例2‎ 变式2‎ ‎ 【作业布置】‎ 课本习题‎3.3 A组9、10；B组2、4及导学案课后练习与提高 ‎ ‎ ‎3.3.3‎‎ 点到直线的距离 ‎ 课前预习学案 ‎ 一、预习目标 让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离 二、学习过程 预习教材P117~ P119，找出疑惑之处 问题1．已知平面上两点，则的中点坐标为 ，间的长度为 .‎ 问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?‎ ‎5分钟训练 ‎1.点（0，5）到直线y=2x的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.‎ ‎3.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a的值等于( )‎ A. B. C. D.‎ 答案：C 三． 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎ ‎1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； ‎2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离 ‎3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.‎ 学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立 二、学习过程 知识点1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.‎ 注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；‎ ‎⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.‎ 问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.‎ ‎ ‎ 例 分别求出点到直线 的距离. ‎ 问题2：求两平行线：，：‎ 的距离.‎ 知识点2：已知两条平行线直线，‎ ‎，则与的距离为 注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.‎ ‎ 典型例题 例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：‎ ‎(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 变式训练 ‎ 点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.‎ ‎ 例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积 ‎ ‎ 变式训练 ‎ 求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离 当堂检测 课本本节练习.‎ 拓展提升 问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.‎ ‎.‎ 学习小结 1. ‎ 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 ‎ 课后巩固练习与提高 ‎ ‎30分钟训练 ‎1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.点P(m-n,-m)到直线=1的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )‎ A. B. C. D.2‎ ‎4.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( )‎ A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0‎ C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0‎ ‎5.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1：_________________,l2：_______________.‎ ‎7.已知直线l过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l的距离为3，求直线l的方程.‎ ‎8.已知直线l过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l的距离相等，求直线l的方程.‎ ‎9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a＞0),直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0,且l1与l2的距离是.‎ ‎(1)求a的值.‎ ‎(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能,求P点的坐标;若不能,请说明理由.‎ 参考答案 ‎1.解析:由点到直线的距离公式可得d=.‎ 答案：C ‎ 2.解析:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 ‎.‎ 答案：A ‎3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.‎ 答案：B ‎4.解析:‎ 根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜=1，解得m=2或m=0. ‎ 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.‎ 答案：D ‎8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB==-1，‎ 即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l的方程为y=1.‎ 综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1.‎ ‎9.解：(1)根据题意得：l1与l2的距离d=a=3或a=-4(舍).‎ ‎(2)设P点坐标为(x0,y0),则x0＞0,y0＞0.若P点满足条件②,‎ 则2×｜8x0-4y0+12｜=｜4x0-2y0-1｜,‎ ‎8x0-4y0+12=4x0-2y0-1或8x0-4y0+12=-(4x0-2y0-1)4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0; ①‎ 若P点满足条件③,‎ 则｜2x0-y0+3｜=｜x0+y0-1｜,‎ ‎2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-(x0+y0-1),‎ x0-2y0+4=0或3x0+2=0; ②‎ 由①②得 解得 故满足条件的点P为(-3,)或()或()或().‎