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  • 2021-06-17 发布

2020高中数学 第三章函数的最大(小)值与导数

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‎3.3.3 ‎函数的最大(小)值与导数 学习目标:1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.‎ 思考:若函数f(x)在区间[a,b]上只有一个极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值吗?‎ ‎[提示] 根据极大值和最大值的定义知,f(x0)是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值.‎ ‎2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 ‎(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.‎ ‎(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)函数的最大值一定是函数的极大值. (  )‎ ‎(2)开区间上的单调连续函数无最值. (  )‎ ‎(3)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.‎ ‎ (  )‎ ‎(4)函数f(x)=在区间[-1,1]上有最值. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(  )‎ A.-2   B.‎0 ‎  C.2   D.4‎ C [f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0得x=0或x=2.‎ 由f(-1)=-2,f(0)=2,f(1)=0得f(x)max=f(0)=2.]‎ ‎3.函数y=x-sin x,x∈的最大值是(  )‎ ‎ 【导学号:97792160】‎ A.π-1   B.-‎1 ‎  C.π   D.π+1‎ 8‎ C [y′=1-cos x>0,故函数y=x-sin x,x∈是增函数,因此当x=π时,函数有最大值,且ymax=π-sin π=π.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的最值 ‎ 求下列各函数的最值.‎ ‎(1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,1];‎ ‎(2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].‎ ‎[解] (1)f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0得x=-1或x=2,‎ 又x∈[-2,1],故x=-1,且f(-1)=12.‎ 又因为f(-2)=1,f(1)=-8,‎ 所以,当x=-1时,f(x)取最大值12.‎ 当x=1时,f(x)取最小值-8.‎ ‎(2)∵f(x)=3ex-exx2,‎ ‎∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)‎ ‎=-ex(x2+2x-3)‎ ‎=-ex(x+3)(x-1).‎ ‎∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,‎ 即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,‎ ‎∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;‎ x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.‎ ‎[规律方法] 求函数在闭区间上最值的步骤 第一步 求f′(x),解方程f′(x)=0‎ 第二步 确定在闭区间上方程f′(x)=0的根 第三步 求极值、端点值,确定最值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.求下列各函数的最值.‎ ‎(1)f(x)=-x3+3x,x∈[-,3];‎ ‎(2)f(x)=x2-(x<0).‎ ‎[解] (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x).‎ 令f′(x)=0,得x=1或x=-1,‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ 8‎ x ‎- ‎(-,‎ ‎-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,‎ ‎1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎-18‎ 所以x=1和x=-1是函数在[-,3]上的两个极值点,且f(1)=2,f(-1)=-2.‎ 又因为f(x)在区间端点处的取值为f(-)=0,f(3)=-18,‎ 所以f(x)max=2,f(x)min=-18.‎ ‎(2)f′(x)=2x+.‎ 令f′(x)=0,得x=-3.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-3)‎ ‎-3‎ ‎(-3,0)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,‎ 故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值.‎ 含参数的函数的最值问题 ‎ 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值. ‎ ‎【导学号:97792161】‎ ‎[思路探究] 求导→讨论a的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值.‎ ‎[解] f′(x)=3x2-2ax,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.‎ 当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,‎ 从而f(x)max=f(2)=8-‎4a.‎ 当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,‎ 从而f(x)max=f(0)=0.‎ 当0<<2,即0<a<3时,‎ f(x)在上单调递减,在上单调递增,‎ 从而f(x)max= 综上所述,f(x)max= ‎[规律方法] 1.含参数的函数最值问题的两类情况 8‎ ‎(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.‎ ‎(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.‎ ‎2.已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.‎ ‎[解] 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).‎ ‎(1)当a>0时,且x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎-1‎ ‎(-1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎-‎7a+b ↗‎ b ‎↘‎ ‎-‎16a+b 由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.‎ 又f(-1)=-‎7a+3,f(2)=-‎16a+3f(-1),‎ ‎∴f(2)=-‎16a-29=3,解得a=-2.‎ 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.‎ 与最值有关的恒成立问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.比较两个函数式的大小,常用什么方法?‎ 提示:常用差比较法.‎ ‎2.函数最值和“恒成立”问题有什么联系?‎ 提示:解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x 8‎ ‎)的最小值大于0即可.对含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.‎ ‎ 设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x).‎ ‎(1)求g(x)的单调区间和最小值;‎ ‎(2)讨论g(x)与g的大小关系;‎ ‎(3)求a的取值范围,使g(a)-g(x)<对任意x>0成立.‎ ‎[思路探究] (1)求出g(x)的表达式是解题的关键;(2)构造辅助函数,结合单调性求解;(3)显然g(x)的最值决定了参数a的取值范围。‎ ‎[解] (1)由题设知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=,‎ 所以g(x)=ln x+ 所以g′(x)=,令g′(x)=0,得x=1,‎ 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,‎ 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,‎ 故g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,‎ 所以g(x)的最小值为g(1)=1.‎ ‎(2)g=-ln x+x,‎ 设h(x)=g(x)-g=2ln x-x+,‎ 则h′(x)=-.‎ 当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g;‎ 当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0,‎ 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减.‎ 当0h(1)=0,即g(x)>g;‎ 当x>1时,h(x)0成立,‎ 即ln a0成立.‎ 由(1)知,g(x)的最小值为1,‎ 8‎ 所以ln a<1,解得00,‎ 当x>e时,y′<0.‎ 因此当x=e时,函数y=有最大值,且ymax==e-1.]‎ ‎2.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M,N,则M-N的值为(  )‎ A.2    B.‎4 ‎   C.18    D.20‎ 8‎ D [f′(x)=3x2-3,‎ 令f′(x)=0得x=±1.‎ 当0≤x<1时,f′(x)<0;‎ 当10.‎ 则f(1)最小,又f(0)=-a,f(3)=18-a,‎ f(3)>f(0),所以最大值为f(3),即M=f(3),‎ N=f(1)⇒M-N=f(3)-f(1)‎ ‎=(18-a)-(-2-a)=20.]‎ ‎3.函数y=x+2cos x在区间上的最大值是__________.‎ + [y′=1-2sin x=0,解得x=,比较0,,处的函数值,得ymax=+.]‎ ‎4.函数f(x)=x3-x2-2x+5,对任意x∈[1,2]都有f(x)>m,则实数m的取值范围是__________.‎  [由题意知只要f(x)min>m即可,‎ 由f′(x)=3x2-x-2=0,‎ 得x=-(舍去)或x=1,‎ 易知f(x)min=f(1)=,所以m<.]‎ ‎5.已知函数f(x)=+ln x,求f(x)在上的最大值和最小值. ‎ ‎【导学号:97792163】‎ ‎[解] f′(x)=+=.‎ 由f′(x)=0,得x=1.‎ ‎∴在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎1-ln 2‎ ‎↘‎ 极小值0‎ ‎↗‎ ‎-+ln 2‎ ‎∵f-f(2)=-2ln 2=(ln e3-ln 16),‎ 8‎ 而e3>16,∴f>f(2)>0.‎ ‎∴f(x)在上的最大值为f=1-ln 2,最小值为0.‎ 8‎