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- 2021-06-17 发布
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3.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标:1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.
思考:若函数f(x)在区间[a,b]上只有一个极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值吗?
[提示] 根据极大值和最大值的定义知,f(x0)是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值.
2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)函数的最大值一定是函数的极大值. ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值. ( )
(3)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.
( )
(4)函数f(x)=在区间[-1,1]上有最值. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
C [f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0得x=0或x=2.
由f(-1)=-2,f(0)=2,f(1)=0得f(x)max=f(0)=2.]
3.函数y=x-sin x,x∈的最大值是( )
【导学号:97792160】
A.π-1 B.-1 C.π D.π+1
8
C [y′=1-cos x>0,故函数y=x-sin x,x∈是增函数,因此当x=π时,函数有最大值,且ymax=π-sin π=π.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的最值
求下列各函数的最值.
(1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,1];
(2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].
[解] (1)f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0得x=-1或x=2,
又x∈[-2,1],故x=-1,且f(-1)=12.
又因为f(-2)=1,f(1)=-8,
所以,当x=-1时,f(x)取最大值12.
当x=1时,f(x)取最小值-8.
(2)∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)
=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1).
∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,
∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;
x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.
[规律方法] 求函数在闭区间上最值的步骤
第一步 求f′(x),解方程f′(x)=0
第二步 确定在闭区间上方程f′(x)=0的根
第三步 求极值、端点值,确定最值.
[跟踪训练]
1.求下列各函数的最值.
(1)f(x)=-x3+3x,x∈[-,3];
(2)f(x)=x2-(x<0).
[解] (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x).
令f′(x)=0,得x=1或x=-1,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
8
x
-
(-,
-1)
-1
(-1,
1)
1
(1,3)
3
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
-18
所以x=1和x=-1是函数在[-,3]上的两个极值点,且f(1)=2,f(-1)=-2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f(-)=0,f(3)=-18,
所以f(x)max=2,f(x)min=-18.
(2)f′(x)=2x+.
令f′(x)=0,得x=-3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,0)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,
故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值.
含参数的函数的最值问题
已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【导学号:97792161】
[思路探究] 求导→讨论a的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值.
[解] f′(x)=3x2-2ax,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
当0<<2,即0<a<3时,
f(x)在上单调递减,在上单调递增,
从而f(x)max=
综上所述,f(x)max=
[规律方法] 1.含参数的函数最值问题的两类情况
8
(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.
[跟踪训练]
2.已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
[解] 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0时,且x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
↗
b
↘
-16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
与最值有关的恒成立问题
[探究问题]
1.比较两个函数式的大小,常用什么方法?
提示:常用差比较法.
2.函数最值和“恒成立”问题有什么联系?
提示:解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x
8
)的最小值大于0即可.对含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.
设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)讨论g(x)与g的大小关系;
(3)求a的取值范围,使g(a)-g(x)<对任意x>0成立.
[思路探究] (1)求出g(x)的表达式是解题的关键;(2)构造辅助函数,结合单调性求解;(3)显然g(x)的最值决定了参数a的取值范围。
[解] (1)由题设知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=,
所以g(x)=ln x+
所以g′(x)=,令g′(x)=0,得x=1,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,
故g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以g(x)的最小值为g(1)=1.
(2)g=-ln x+x,
设h(x)=g(x)-g=2ln x-x+,
则h′(x)=-.
当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g;
当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0,
因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减.
当0h(1)=0,即g(x)>g;
当x>1时,h(x)0成立,
即ln a0成立.
由(1)知,g(x)的最小值为1,
8
所以ln a<1,解得00,
当x>e时,y′<0.
因此当x=e时,函数y=有最大值,且ymax==e-1.]
2.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M,N,则M-N的值为( )
A.2 B.4 C.18 D.20
8
D [f′(x)=3x2-3,
令f′(x)=0得x=±1.
当0≤x<1时,f′(x)<0;
当10.
则f(1)最小,又f(0)=-a,f(3)=18-a,
f(3)>f(0),所以最大值为f(3),即M=f(3),
N=f(1)⇒M-N=f(3)-f(1)
=(18-a)-(-2-a)=20.]
3.函数y=x+2cos x在区间上的最大值是__________.
+ [y′=1-2sin x=0,解得x=,比较0,,处的函数值,得ymax=+.]
4.函数f(x)=x3-x2-2x+5,对任意x∈[1,2]都有f(x)>m,则实数m的取值范围是__________.
[由题意知只要f(x)min>m即可,
由f′(x)=3x2-x-2=0,
得x=-(舍去)或x=1,
易知f(x)min=f(1)=,所以m<.]
5.已知函数f(x)=+ln x,求f(x)在上的最大值和最小值.
【导学号:97792163】
[解] f′(x)=+=.
由f′(x)=0,得x=1.
∴在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
(1,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
1-ln 2
↘
极小值0
↗
-+ln 2
∵f-f(2)=-2ln 2=(ln e3-ln 16),
8
而e3>16,∴f>f(2)>0.
∴f(x)在上的最大值为f=1-ln 2,最小值为0.
8
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