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- 2021-06-17 发布
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1.4 生活中的优化问题举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A.8 B.
C.-1 D.-8
解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
答案:C
2.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A.10 B.15
C.25 D.50
解析:如图,CDEF为半圆O的内接矩形,C、D为圆上的动点,
连接OC,设∠COF=α,则
CF=5sin α,OF=5cos α,
∴S矩形CDEF=2×5cos α·5sin α
=25sin 2α(0<α<).
∴S矩形CDEF的最大值为25.
答案:C
3.某人要购买8件礼物,分两次购买,商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方,若使购买礼物付款额最省,此人每次购买礼物的数量分别为( )
A.2,6 B.4,4
C.3,5 D.1,7
解析:设第一次购买了x件礼物,则第二次购买了8-x件,则付款额f(x)=x3+(8-x)3,
f′(x)=3x2-3(8-x)2=3(16x-64),
令f′(x)=0,得x=4,
7
∴当x=4时,付款额最省.
答案:B
4.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-+400x,(0≤x≤390),则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )
A.150 B.200
C.250 D.300
解析:由题意可得总利润P(x)=-+300x-20 000,0≤x≤390,由P′(x)=-+300=0,得x=300.当0≤x<300时,P′(x)>0;当3000),贷款的利率为0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),为使银行获得最大收益,则存款利率应定为( )
A.0.032 B.0.024
C.0.04 D.0.036
解析:设存款利率为x,依题意:存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款的收益是0.048kx2,x∈(0,0.048).所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(00;当0.0320),y′=-+,令y′=0,得x=5,或x=-5(舍去).当05时,y′>0.因此,当x=5时,y取得极小值,也是最小值.
故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.
答案:5
9.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
解析:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积,
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h,得h=,则
S(R)=2πR+2πR2=+2πR2,
令S′(R)=-+4πR=0,
解得,R=,
从而h==
7
==2·.
即h=2R.
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.
所以当罐的高与底直径相等时,所用材料最省.
10.用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解析:设容器的高为x cm,容器的体积为V(x)cm3.
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(00,V(x)是增函数;
当100;当d0,则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).
设矩形的面积为S,则S=2x(4-x2)(00;当0),
7
y′=-x2,
由y′=0,得x=25,
当x∈(0,25)时,y′>0,当x∈(25,+∞)时,y′<0,
所以当x=25时,y取得最大值.
答案:25件
4.若一球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为________.
解析:如图,设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则R=rcos θ,l=2rsin θ.
∴S侧=2πR·l=2πrcos θ×2rsin θ=4πr2sin θcos θ.
∴由S′侧=4πr2(cos2θ-sin2θ)=0,得θ=.
∴当θ=,即R=r时,S侧最大,且S侧最大值为2πr2.
答案:2πr2
5.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5).
(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?
(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入资金)
解析:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(00;
当20表示12点以后,t<0表示12点以前.若测得该物体在8点的温度为8 ℃,12点的温度为60 ℃,13点的温度为58 ℃,并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率.
(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式;
(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点),在何时温度最高?最高值是多少?
解析:(1)根据题意,得
即
又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率,且T′=3at2+2bt+c,
∴T′(-4)=T′(4),即
48a-8b+c=48a+8b+c.
∴b=0.
将b=0代入上述方程组中,并进行化简得
∴
∴该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为T=t3-3t+60.
(2)由(1),T′(t)=3t2-3=3(t-1)(t+1)(-2≤t≤2),
令T′(t)=0,得t=±1.
当t变化时,T′(t)和T(t)的变化情况如下表:
t
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
T′(t)
+
0
-
0
+
T(t)
58
极大值62
极小值58
62
可知t=-1是函数的极大值点,且极大值为T(-1)=62;t=1是函数的极小值点,且极小值为T(1)=58.
又函数在区间[-2,2]的端点函数值为T(-2)=58,T(2)=62,
比较以上数值可以得出,当t=2或-1时,T(t)取最大值,即在11点、14点时物体的温度最高,最高温度为62 ℃.
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