2020年高中数学 第一章 数列 4页

‎1.2.1‎‎ 第2课时 等差数列的性质 ‎[A　基础达标]‎ ‎1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　)‎ A．30　　　　　　　　　 B．15‎ C．5 D．10 解析：选B.因为数列{an}为等差数列，‎ 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a2＋a4)＝×6＝15.‎ ‎2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)‎ A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 解析：选A.由于a4＋a6＝a2＋a8＝‎2a5，即‎3a5＝9，‎ 所以a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．‎ ‎3．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为(　　)‎ A．－6 B．6‎ C．0 D．10‎ 解析：选B.由于{an}，{bn}都是等差数列，‎ 所以{an－bn}也是等差数列，‎ 而a1－b1＝6，a20－b20＝6，‎ 所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B.‎ ‎4．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a‎1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为(　　)‎ A．105 B．120‎ C．90 D．75‎ 解析：选A.由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a‎1a2a3＝80，所以a‎1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝‎3a12＝3(a1＋11d)＝105.‎ ‎5．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q等于(　　)‎ A．p＋q B．0‎ C．－(p＋q) D． 解析：选B.设等差数列{an}的公差为d.‎ 4‎ 因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，‎ 即q－p＝(p－q)d，因为p≠q，所以d＝－1.‎ 故ap＋q＝ap＋[(p＋q)－p]d＝q＋(－1)q＝0.‎ ‎6．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，则am＝________．‎ 解析：因为m－n，m，m＋n成等差数列，又因为{an}是等差数列，所以am－n，am，am＋n成等差数列，所以am＝.‎ 答案： ‎7．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(‎2a1·‎2a2·…·‎2a10)＝________．‎ 解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(‎2a1·‎2a2·…·‎2a10)＝log‎22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.‎ 答案：20‎ ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________．‎ 解析：由题设可得－＋1＝0，‎ 即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.‎ 答案：n2‎ ‎9．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：‎ ‎(1)a3＋a5＋a7＝93；‎ ‎(2)满足an>100的n的最小值是15，‎ 试求公差d和首项a1的值．‎ 解：因为a3＋a5＋a7＝93，‎ 所以‎3a5＝93，所以a5＝31，‎ 所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.‎ 因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，‎ 所以61时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.‎ 所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．‎ 所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.‎ ‎14．(选做题)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．‎ 试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)‎ 解：设在相同的时间内，‎ 从低到高每档产品的产量分别为 a1，a2，…，a10，‎ 利润分别为b1，b2，…，b10，‎ 则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，‎ 所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，‎ bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，‎ 所以利润f(n)＝anbn ‎＝(－3n＋63)(2n＋6)‎ ‎＝－6n2＋108n＋378‎ ‎＝－6(n－9)2＋864.‎ 显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.‎ 所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．‎ 4‎