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- 2021-06-11 发布
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- 1 -
课时分层作业(十) 等差数列的性质
(建议用时:40 分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
A [由等差数列的性质,得 a1+a9=2a5,
又∵a1+a9=10,即 2a5=10,
∴a5=5.]
2.数列{an}满足 3+an=an+1 且 a2+a4+a6=9,则 log6(a5+a7+a9)的值是( )
【导学号:91432156】
A.-2 B.-1
2
C.2 D.1
2
C [∵an+1-an=3,
∴{an}为等差数列,且 d=3.
a2+a4+a6=9=3a4,∴a4=3,
a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,
∴log6(a5+a7+a9)=log636=2.]
3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( )
A.5 B.8
C.10 D.14
B [由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=10,又 a1=2,所以 a7=8.]
4.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 等于( )
【导学号:91432157】
A.8 B.4
C.6 D.12
A [因为 a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以 a8=8,即 m=8.]
5.下列说法中正确的是( )
A.若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 成等差数列
B.若 a,b,c 成等差数列,则 log2a,log2b,log2c 成等差数列
C.若 a,b,c 成等差数列,则 a+2,b+2,c+2 成等差数列
- 2 -
D.若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 成等差数列
C [因为 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c,
所以 2b+4=a+c+4,即 2(b+2)=(a+2)+(c+2),
所以 a+2,b+2,c+2 成等差数列.]
二、填空题
6.若三个数成等差数列,它们的和为 9,平方和为 59,则这三个数的积为________.
【导学号:91432158】
-21 [设这三个数为 a-d,a,a+d,
则
a-d+a+a+d=9,
a-d 2+a2+ a+d 2=59.
解得
a=3,
d=4
或
a=3,
d=-4.
∴这三个数为-1,3,7 或 7,3,-1.
∴它们的积为-21.]
7.若 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax2-2bx+c 的图象与 x 轴的交点的个数为________.
1 或 2 [∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c,
∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
∴二次函数 y=ax2-2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2.]
8.在通常情况下,从地面到 10 km 高空,高度每增加 1 km,气温就下降某一个固定数值.如
果 1 km 高度的气温是 8.5 ℃,5 km 高度的气温是-17.5 ℃,则 2 km,4 km,8 km 高度的气温分
别为________、________、________.
【导学号:91432159】
2 ℃ -11 ℃ -37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则 a1=8.5,
a5=-17.5,由 a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,
解得 d=-6.5,∴an=15-6.5n.
∴a2=2,a4=-11,a8=-37,即 2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为 2 ℃,-11 ℃,-37 ℃.]
三、解答题
9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
[解] ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,
即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9,
解得 d=±2.
若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;
若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.
- 3 -
10.四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数.
【导学号:91432160】
[解] 设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d),
依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即 a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1 或 d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以 d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
[冲 A 挑战练]
1.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0 B.a2+a101<0
C.a3+a99=0 D.a51=51
C [根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于 a1+a2+a3+…+a101=0,所以
a51=0,又因为 a3+a99=2a51=0,故选 C.]
2.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9-1
3
a11 的值为( )
【导学号:91432161】
A.14 B.15
C.16 D.17
C [设公差为 d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,
∴5a8=120,a8=24,∴a9-1
3
a11=(a8+d)-1
3
(a8+3d)=2
3
a8=16.]
3.若 m≠n,两个等差数列 m,a1,a2,n 与 m,b1,b2,b3,n 的公差分别为 d1 和 d2,则d1
d2
的值
为________.
4
3
[n-m=3d1,d1=1
3
(n-m).
又 n-m=4d2,d2=1
4
(n-m).
∴d1
d2
=
1
3
n-m
1
4
n-m
=4
3
.]
4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,
上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共为 4 升,则第 5 节的容积为________升.
- 4 -
67
66
[设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9.
则
a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,
7+a8+a9=3a1+21d=4,
解得
a1=13
22
,
d= 7
66
,
故 a5=a1+4d=67
66
.]
5.两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11,…都有 100 项,那么它们共有多少相同的项?
【导学号:91432162】
[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn},c1=11,
又等差数列 5,8,11,…的通项公式为 an=3n+2,
等差数列 3,7,11,…的通项公式为 bn=4n-1.
所以数列{cn}为等差数列,且公差 d=12,①
所以 cn=11+(n-1)×12=12n-1.
又 a100=302,b100=399,cn=12n-1≤302,②
得 n≤251
4
,可见已知两数列共有 25 个相同的项.
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