高中数学第二章数列2-2等差数列第2课时等差数列的性质达标检测含解析新人教A版必修5 5页

等差数列 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ 解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，‎ 又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10，‎ 所以a5＝5.‎ 答案：A ‎2．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．2 D． 解析：因为an＋1－an＝3，‎ 所以{an}为等差数列，且d＝3.‎ a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以a4＝3，‎ a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，‎ 所以log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.‎ 答案：C ‎3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是(　　)‎ A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，‎ 所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．‎ 答案：C ‎4．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列是等差数列，那么a11等于(　　)‎ A. B. C. D.1‎ - 5 -‎ 解析：依题意得＋＝2·，‎ 所以＝－＝，‎ 所以a11＝.‎ 答案：B ‎5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为(　　)‎ A.个 B.个 C.个 D.个 解析：易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d>0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.‎ 故最小一份的量为个．‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________．‎ 解析：由已知得a3＋a10＝3.‎ 又数列{an}为等差数列，‎ 所以a5＋a8＝a3＋a10＝3.‎ 答案：3‎ ‎7．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________．‎ 解析：由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，可得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，又{an}为正项数列，‎ 所以an＝，所以a7＝.‎ 答案： ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________________．‎ 解析：由题设可得－＋1＝0，‎ 即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n - 5 -‎ ‎，所以an＝n2.‎ 答案：n2‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．‎ 解：法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，‎ 所以a4＝5.‎ 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，‎ 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，‎ ‎(5－2d)(5＋2d)＝9，‎ 解得d＝±2.‎ 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；‎ 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.‎ 法二　设等差数列的公差为d，‎ 则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，‎ 即a1＋3d＝5，①‎ 由a2a4a6＝45，‎ 得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，‎ 将①代入上式，得 ‎(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，‎ 即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②‎ 解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，‎ 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，‎ 或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.‎ ‎10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．‎ 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，‎ 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，‎ 即a＝1，a2－9d2＝－8，‎ 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.‎ 又四个数成递增等差数列，所以d>0，‎ 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.‎ B级　能力提升 ‎1．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝‎ - 5 -‎ ‎(　　)‎ A．1 B． C． D． 解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，‎ 则a1＋a4＝a2＋a3＝2，‎ 再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，‎ 因为a1＝，所以d＝，‎ 所以a2＝＋＝，‎ a3＝＋1＝，‎ a4＝＋＝，‎ 所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.‎ 答案：C ‎2．已知圆的方程为x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是________．‎ 解析：如图，由x2＋y2－6x＝0，得(x－3)2＋y2＝9，‎ 所以圆心坐标C(3，0)，半径r＝3，‎ 由圆的性质可知，过点P(1，2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，‎ 最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长，‎ 因为|CP|＝＝2，‎ 所以|AB|＝2＝2，‎ 即a1＝2，a3＝6，‎ 所以公差d的最大值为＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．‎ - 5 -‎ ‎(1)求证：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0，‎ 得－＝3(n≥2)．‎ 又因为a1＝1，‎ 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．‎ ‎(2)解：由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，‎ 所以an＝.‎ 又当n＝1时，a1＝1，符合上式，‎ 所以数列{an}的通项公式是an＝.‎ - 5 -‎