高中数学第二章数列2-2-2等差数列的性质课时作业含解析新人教A版必修 4页

1 课时作业 10　等差数列的性质 时间：45 分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，且 a3＋a6＋a10＋a13＝32，若 am＝8，则 m 等于 (　A　) A．8 B．4 C．6 D．12 解析：因为 a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以 a8＝8，即 m＝8. 2．由公差 d≠0 的等差数列 a1，a2，…，a n，…组成一个数列 a1＋a3，a2＋a4，a3＋ a5，…，下列说法正确的是(　C　) A．该新数列不是等差数列 B．是公差为 d 的等差数列 C．是公差为 2d 的等差数列 D．是公差为 3d 的等差数列 解析：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2) ＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d， ∴数列 a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为 2d 的等差数列． 3．等差数列{an}中，若 a1＋a2＋a3＝9，a1＋a2＋…＋a6＝36，则 a7＋a8＋a9＝(　B　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：由{an}是等差数列，得 a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9 也成等差数列．又 a4 ＋a5＋a6＝36－9＝27，故新的公差为 18，所以 a7＋a8＋a9＝27＋18＝45. 4．已知等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，a7＝4a3，则 a4＋a10＝(　B　) A．16 B．32 C．20 D．40 解析：由 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，得 5a3＝20，所以 a3＝4，所以 a7＝16，所以 a4＋a10 ＝2a7＝32. 5．已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋…＋a101＝0，则有(　D　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100<0 D．a51＝0 解析：依题意，由 a1＋a2＋…＋a101＝0，得 50(a1＋a101)＋a51＝0，所以 101a51＝0，所 以 a51＝0. 6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的一道题，大意是： 把 120 个面包分成 5 份，使每份的面包个数成等差数列，且较多的 3 份之和恰好是较少的 2 2 份之和的 7 倍，则最少的那份面包个数为(　C　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：设这 5 份面包的个数从小到大分别为 a1，a2，…，a5，由题意得Error! 所以Error! 所以Error!解得Error! 二、填空题 7．等差数列{an}中，已知 a3＝10，a8＝－20，则公差 d＝－6. 解析：由题意知 d＝a8－a3 8－3 ＝ －30 5 ＝－6. 8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝15，b 1＝35，a 2＋b2＝60，则 a36＋b36＝ 400. 解析：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}为等差数列．又 a1＝15，b1＝ 35，∴a1＋b1＝50，又∵a2＋b2＝60，∴数列{an＋bn}的公差为 10，∴a36＋b36＝50＋35×10＝ 400. 9．已知中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 017，则该数列的首项为 3. 解析：设等差数列为{am}，若这组数有(2m＋1)个，则 am＋1＝1 010，a2m＋1＝2 017.又 a1 ＋a2m＋1＝2am＋1，即 a1＋2 017＝2×1 010，所以 a1＝3，若这组数有 2m 个，则 am＋am＋1＝1 010×2＝2 020，a2m＝2 017.又 a1＋a2m＝am＋am＋1，即 a1＋2 017＝2 020，所以 a1＝3.综上， 该数列的首项为 3. 三、解答题 10．已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75. 解：(方法一)∵数列{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，设其公差为 d，a15 为首项，则 a60 为其第 4 项． ∴a60＝a15＋3d，得 d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24. (方法二)设数列{an}的公差为 d， ∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d， ∴Error!解得Error! 故 a75＝a1＋74d＝64 15＋74× 4 15＝24. 11．某公司 2017 年生产一种数码产品，获利 200 万元，从 2018 年起，预计其利润每年 比上一年减少 20 万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试 计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ 解：记 2017 年为第 1 年，由题设可知第 1 年获利 200 万元，第 2 年获利 180 万元，第 3 年获利 160 万元，……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当 an<0 时，该公司 生产此产品将出现亏损． 设第 n 年的利润为 an，因为 a1＝200，公差 d＝－20， 3 所以 an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 由题意知数列{an}为递减数列，令 an<0， 即 220－20n<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，也就是从 2028 年开始，该公司生产此产品将出现亏损． ——能力提升类—— 12．设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　C　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 解析：∵数列{2a1an}为递减数列， ∴2a1an>2a1an＋1，n∈N*. ∴a1an>a1an＋1.∴a1(an＋1－an)<0. ∵数列{an}为公差为 d 的等差数列， ∴a1d<0.故选 C. 13．已知函数 f(x)＝2x，等差数列{an}的公差 d＝2，若 f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a 10)]＝－6. 解析：∵f(x)＝2x，f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，∴2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4，∴a2＋a4＋a6 ＋a8＋a10＝2.又{an}的公差为 2，∴a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5d＝－8， ∴a1＋a2＋…＋a9＋a10＝－6， ∴log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a 10)] ＝log22a1＋a2＋…＋a9＋a10＝log22－6＝－6. 14．如果有穷数列 a1，a2，…，am(m 为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝ a1，则称其为“对称”数列．例如数列 1,2,5,2,1 与数列 8,4,2,4,8 都是“对称”数列．已知在 21 项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，则 c2＝ 19. 解析：因为 c11，c12，…，c21 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，又{cn}为 21 项的对 称数列，所以 c2＝c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19. 15．已知无穷等差数列{an}中，首项 a1＝3，公差 d＝－5，依次取出序号能被 4 除余 3 的项组成数列{bn}． (1)求 b1 和 b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第 503 项是{an}中的第几项？ 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以 3 为首项，4 为公差的等差数 列．由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列． (1)∵a1＝3，d＝－5， ∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n. 数列{an}中序号被 4 除余 3 的项是{an}中的第 3 项，第 7 项，第 11 项，…， ∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. 4 (2)设{an}中的第 m 项是{bn}中的第 n 项， 即 bn＝am，则 m＝3＋4(n－1)＝4n－1. ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n， 即{bn}的通项公式为 bn＝13－20n. (3)b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第 m 项， 则－10 047＝8－5m，解得 m＝2 011， 即{bn}中的第 503 项是{an}中的第 2 011 项．