【数学】2020届一轮复习北师大版两个计数原理的应用课时作业 4页

知识点一 组数问题 ‎1.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)‎ A．25 B．20 C．16 D．12‎ 答案　C 解析　分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.‎ ‎2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)‎ A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 答案　C 解析　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数，故选C.‎ 知识点二 几何问题 ‎3.已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为(　　)‎ A．18 B．16 C．14 D．10‎ 答案　C 解析　由题意知本题是一个分类和分步的综合问题．‎ M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共2×2个，‎ 在第二象限的点共有1×2个；‎ N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共2×2个，在第二象限的点共有2×2个．‎ 所以所求不同的点的个数：2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14个．‎ ‎4．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．‎ 答案　30‎ 解析　因为过原点的直线常数项为0，所以C＝0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有1×6×5＝30(条)．‎ 知识点三 涂色问题 ‎5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有________种．‎ 答案　18‎ 解析　‎ 若黄瓜种在第一块土地上，则有1×3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块，第三块土地上，均有6种不同的种植方法．故共有6×3＝18种不同的种植方法．‎ ‎6．如图，用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域涂不同的颜色，那么不同的涂色方法种数为________．‎ 答案　180‎ 解析　先分两类，第一类，A，D颜色不相同；第二类，A，D颜色相同．在第一类中分四步：先涂A，有5种方法，再涂B，有4种方法，然后涂C，有3种方法，最后涂D，有2种方法．于是第一类不同的涂色方法种数为5×4×3×2＝120，类似地，可得第二类不同的涂色方法种数为5×4×3＝60，所以不同的涂色方法种数为120＋60＝180.‎ 一、选择题 ‎1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有(　　)‎ A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 答案　A 解析　分三类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法，即1和4,2和3两种分法；三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法．即2和4,3和3两种分法；三堆中“最多”的一堆为3个，是不可能的，所以不同的分法共有2＋2＝4.‎ ‎2．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)‎ A．512个 B．192个 C．240个 D．108个 答案　D 解析　分两类，第一类若末位数字是0，则有5×4×3＝60种；第二类若末位数字是5，则有4×4×3＝48，所以能被5整除的四位数有60＋48＝108.‎ ‎3．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有(　　)‎ A．60种 B．40种 C．20种 D．10种 答案　C 解析　设五名护士分别为A，B，C，D，E.其中两人拿到自己的外衣，可能是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种情况，假设A，B两人拿到自己的外衣，则C，D，E三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取D，D取E，E取C或C取E，D取C，E取D两种情况．所以根据分步乘法计数原理，应有10×2＝20种情况．‎ ‎4．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有(　　)‎ A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 答案　D 解析　首先确定涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，由于C与A、B均相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，由乘法原理，共有4×3×2×3＝72种涂法．‎ ‎5．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)‎ A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 答案　B 解析　依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．‎ 二、填空题 ‎6．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成________个不同的对数值．‎ 答案　52‎ 解析　从8个数中选两个数字，且这两个数字不相同的方法数有8×7＝56种，又log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重复了4次，要减去4，∴共有不同的对数值56－4＝52个．‎ ‎7．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)‎ 答案　14‎ 解析　因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．‎ ‎8．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．‎ 答案　12‎ 解析　分两步：第1步，先选不相邻的两个面，‎ 共有3种选法(都是相对的面)．‎ 第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，‎ 这样前后选出的三个面符合题目要求．‎ 所以共有选法种数为3×4＝12.‎ 三、解答题 ‎9．已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{x||x－6|＜3，x∈N*}，试问：‎ 从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？‎ 解　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．‎ ‎10．如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？‎ 解　分为两类：‎ 第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，‎ ‎3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．‎ 故N1＝5×4×1×4＝80.‎ 第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．‎ 故N2＝5×4×3×3＝180种．‎ 综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．‎