2020版高中数学 第一章 解三角形单元精选检测 新人教B版必修5 9页

第一章 解三角形 单元精选检测(一)‎ ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设A是△ABC的最小角，则sin A＋cos A的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：18082128】‎ A.(－，) B.[－，]‎ C.(1，) D.(1，]‎ ‎【解析】　sin A＋cos A＝sin.∵∠A是△ABC的最小角，∴0＜∠A＜，∴＜∠A＋＜，∴＜sin≤1,1＜sin A＋cos A≤.‎ ‎【答案】　D ‎2.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】　由余弦定理得AB2＝9＋AC2－2×3×AC×cos 120°＝13，∴AC2＋‎3AC－4＝0，解得AC＝1(AC＝－4＜0舍去).‎ ‎【答案】　A ‎3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为(　　)‎ A.(8,10) B.(2，)‎ C.(2，10) D.(，8)‎ ‎【解析】　设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，‎ ‎32＝1＋a2－2×acos B<1＋a2，∴20，‎ 故cos B＝，所以∠B＝45°.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.‎ ‎(1)若b＝4，求sin A的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值.‎ ‎【解】　(1)∵cos B＝>0，且0<∠B<π，‎ ‎∴sin B＝＝.‎ 由正弦定理得＝，‎ sin A＝＝＝.‎ ‎(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，‎ ‎∴×2×c×＝4，‎ ‎∴c＝5.‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.‎ 9‎ ‎19.(本小题满分12分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.‎ ‎(1)求∠B的大小；‎ ‎(2)求cos A＋cos C的最大值.‎ ‎【解】　(1)由余弦定理及题设得，‎ cos B＝＝＝.‎ 又因为0<∠B<π，所以∠B＝.‎ ‎(2)由(1)知∠A＋∠C＝.‎ cos A＋cos C＝cos A＋cos ‎＝cos A－cos A＋sin A ‎＝cos A＋sin A＝cos.‎ 因为0＜∠A＜，‎ 所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图4所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 n mile.问乙船每小时航行多少海里.‎ 图4‎ ‎【解】　如图所示，连接A1B2.‎ 因为A2B2＝10，‎ A‎1A2＝30×＝10，‎ 所以A‎1A2＝A2B2.‎ 又因为∠A‎1A2B2＝180°－120°＝60°，‎ 所以△A‎1A2B2是等边三角形.‎ 9‎ 所以A1B2＝A‎1A2＝10.‎ 又因为A1B1＝20，‎ ‎∠B‎1A1B2＝105°－60°＝45°，‎ 在△A1B2B1中，由余弦定理，得 B1B＝A1B＋A1B－‎2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.‎ 所以B1B2＝10.‎ 所以乙船的速度为＝30(n mile/h).‎ 答：乙船每小时航行30n mile.‎ ‎21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos ‎2C＋2cos C＋2＝0.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值.‎ ‎【解】　(1)∵cos ‎2C＋2cos C＋2＝0，‎ ‎∴2cos‎2C＋2cos C＋1＝0，‎ 即(cos C＋1)2＝0，∴cos C＝－.‎ 又C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝‎3a2＋‎2a2＝‎5a2，‎ ‎∴c＝a，即sin C＝sin A，‎ ‎∴sin A＝sin C＝.‎ ‎∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，‎ ‎∴absin C＝sin Asin B，‎ ‎∴sin C＝，‎ 由正弦定理得 2sin C＝，解得c＝1.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝msin x＋cos x(m>0)的最大值为2.‎ ‎(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；‎ 9‎ ‎(2)若△ABC中，f＋f＝4sin Asin B，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且∠C＝60°，c＝3，求△ABC的面积. ‎ ‎【导学号：18082132】‎ ‎【解】　(1)由题意，f(x)的最大值为，所以＝2.‎ 又m>0，所以m＝，f(x)＝2sin.‎ 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z).‎ 所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ ‎(2)设△ABC的外接圆半径为R，‎ 由题意，得2R＝＝＝2.‎ 化简f＋f＝4sin Asin B，‎ 得sin A＋sinB＝2sin Asin B.‎ 由正弦定理，得2R(a＋b)＝2ab，a＋b＝ab.①‎ 由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，‎ 即(a＋b)2－3ab－9＝0.②‎ 将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，‎ 解得ab＝3或ab＝－(舍去)，‎ 故S△ABC＝absin C＝.‎ 9‎