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- 2021-06-17 发布
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正弦型函数的图象及三角函数的应用
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念及其图象变换
1. 了解函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的实际意义。
2. 能画出y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,并借助图象能观察出A,ω,φ对函数图象变化的影响。
选择
填空
正弦型函数的图象及三角函数的应用是高考的热点,应当引起重视,在高考中往往以中低档题形式出现。
二、重难点提示
重点:由函数y=sin x的图象变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的图象。
难点:对图象变换过程的理解。
一、有关函数的几个概念
当函数表示一个振动量时,A为振幅,是周期,f==是频率,ωx+φ为相位,φ为初相。
【重要提示】
上述概念是在这一前提下的定义,否则,当,则就不能称为初相。
二、函数的图象与的关系
1. 振幅变换
2. 周期变换
3. 相位变换
4. 上下平移变换
6
【难点剖析】由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
①y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)。
②y=sin xy=sin ωxy=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)。
注意:利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现。无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)。
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0)平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。
三、“五点法”作的简图
“五点法”即找五个关键点,分别为使能取得最小值、最大值和曲线与轴的交点,其步骤如下:
(1)先确定周期,在一个周期内作图象。
(2)令,则将分别取来求出对应的值,列表如下:
0
A
0
0
(3)描点画图,再利用函数的周期性,可把所得简图向左、右分别扩展,从而得到的简图。
四、由函数或部分图象确定解析式
【规律总结】
解决的关键在于确定参数,在观察图象的基础上可以按以下规律来确定:
(1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来确定。
6
(2):因为,所以往往通过求周期T来确定。可通过已知曲线与轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点在轴上的投影之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T。
(3):采用五点法或代入最值点求得。
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)。
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点(-,0)作为突破口。“五点”的ωx+φ的值具体如下:
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;
“第五点”为ωx+φ=2π。
示例:函数的初相是 。
思路分析:根据初相的定义求解。
答案:
故初相为。
技巧点拨:本题如果填“”,则是错误的答案,其原因在于没有注意到定义中的条件:。因此当时,应先对解析式进行恒等变形,使之满足上述条件。
例题1 作出函数y=2sin(+)在长度为一个周期的闭区间上的图象。
思路分析:将看成整体,确定一个周期内的五个关键点,然后描点,用光滑的曲线连接各点即可。
答案:列表
0
π
2π
x
-
y
0
2
0
-2
0
描点作图如下:
6
技巧点拨:
1. 用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象,应先令ωx+φ分别为0,,π,π,2π,然后解出自变量x的对应值,作出一周期内的图象。
2. 若在一个定区间内作图象,则要首先确定该区间端点处的相位,再确定两个端点之间的最值点、零点。
例题2 如何由函数y=sin x的图象得到函数y=3sin(2x-)的图象?
思路分析:
方法一:先相位变换→周期变换→振幅变换。
方法二:先周期变换→相位变换→振幅变换。
答案:
【解】方法一
y=sinx。
方法二
y=sin x
。
技巧点拨:
1. 由函数y=sin x的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换通常需要三个变换:相位变换、周期变换、振幅变换,并且也常是这个顺序。当然也可以先周期变换,再相位变换,最后振幅变换,只是平移的单位量不同罢了。
2. 由y=Asin ωx的图象变换成y=Asin(ωx+φ)的图象时,可将y=Asin(ωx+φ)化为y=Asin[ω(x+)],由x+与x的关系确定左右平移的单位,此时时,向左平移个单位,时,向右平移||个单位。
例题3 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),在一个周期内的图象如下图所示,求函数的解析式。
6
思路分析:由最值求A,由过点(0,1)求φ,由点(,0)求ω。
答案:显然A=2,又图象过(0,1)点,∴f(0)=1,
∴sin φ=,又∵|φ|<,∴φ=。
由图象结合“五点法”可知,(,0)对应五点中的点(2π,0),
∴·ω+=2π,∴ω=2,
所以所求函数解析式为f(x)=2sin(2x+)。
技巧点拨:
1. 一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|。
2. 因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω。
3. 从寻找“五点法”中的第一个“零点”(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ。
数形结合思想在三角函数问题中的应用
【满分训练】
设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是________。
①[-4,-2];②[-2,0];③[0,2];④[2,4]
思路分析:将f(x)的零点问题转化为函数g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x图象的交点问题。由数形结合的思想,画出g(x)与h(x)的图象解决。
答案:①
在同一坐标系中画出函数g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x的图象,如图,观察可知在[-4,-2]内无交点。
技巧点拨:
6
解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线,然后准确作图,在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想,即可解决问题。
6
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