2020高中数学 课时分层作业9 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 新人教A版必修4 4页

课时分层作业(九)　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos x D．y＝cos 2x D　[A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]‎ ‎2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是 ‎(　　)‎ B　[由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．‎ 由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.]‎ ‎3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352090】‎ A．5　　　　 B．10 ‎ C．15　　　　 D．20‎ B　[由已知得＝，又ω＞0，‎ 所以＝，ω＝10.]‎ ‎4．函数y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　)‎ A． B．π C．2π D．4π B　[因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π.]‎ ‎5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为 ‎(　　)‎ 4‎ A．1　　　　 B．－1 ‎ C．0　　　　 D．2‎ B　[由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，‎ 所以f＝f＝f＝－f＝－1.]‎ 二、填空题 ‎6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：‎ ‎①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；‎ ‎②存在φ，使f(x)是偶函数；‎ ‎③存在φ，使f(x)是奇函数；‎ ‎④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．‎ 其中错误的是________(填序号). ‎ ‎【导学号：84352091】‎ ‎①④　[φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．]‎ ‎7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．‎ ‎6　[T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，‎ ‎∴ω的最大值是6.]‎ ‎8．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f(x)的解析式为________．‎ f(x)＝－cos x－sin x　[x＜0时，－x＞0，‎ f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x，‎ 因为f(x)为奇函数，‎ 所以f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x，‎ 即x＜0时，f(x)＝－cos x－sin x．]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数y＝sin x＋|sin x|.‎ ‎(1)画出函数的简图；‎ ‎(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．‎ ‎[解]　(1)y＝sin x＋|sin x|‎ ‎＝图象如下：‎ 4‎ ‎(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.‎ ‎10．判断函数f(x)＝lg(sin x＋)的奇偶性. ‎ ‎【导学号：84352092】‎ ‎[解]　∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋]‎ ‎＝lg(－sin x)＝lg ‎＝lg(sin x＋)－1＝－lg(sin x＋)‎ ‎＝－f(x)．‎ 又当x∈R时，均有sin x＋＞0，‎ ‎∴f(x)是奇函数．‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．函数f(x)＝是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 C　[由1＋sin x≠0得sin x≠－1，‎ 所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．]‎ ‎2．设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝(　　)‎ ‎ 【导学号：84352093】‎ A． B．－ C．0 D． D　[∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＝‎ ‎336＋‎ f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝336×0＋f(1)＋f(2)＝sin＋sinπ＝.]‎ 4‎ ‎3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图144所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是______________________．‎ 图144‎ ∪(0,1)∪　[∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0,1)∪.]‎ ‎4．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________. ‎ ‎【导学号：84352094】‎ 　[因为f(x)·f(x＋2)＝13，‎ 所以f(x＋2)＝，‎ 所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，‎ 所以函数f(x)是周期为4的周期函数，‎ 所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．‎ ‎[解]　当x∈时，‎ g(x)＝f＝cos.‎ 因为x＋∈，‎ 所以由g(x)＝解得x＋＝－或，即x＝－或－.‎ 又因为g(x)的最小正周期为π，‎ 所以g(x)＝的解集为.‎ 4‎