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- 2021-06-19 发布
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第四节 复 数
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
复数的有关概念
复数:设
a
,
b
都是实数,形如
_____
的数叫做复数,
i
叫做虚数单位
.
复数相等:
a+bi=c+di⇔__________(a
,
b
,
c
,
d∈R).
共轭复数:
a+bi
与
c+di
共轭
⇔___________(a
,
b
,
c
,
d∈R).
复平面:建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,
x
轴叫做
_____
,
y
轴叫
做
_____
,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
.
复数的模:设复数
a+bi(a
,
b∈R)
对应的向量为 ,则向量 的长度叫做复数
z=a+bi
的模
(
或绝对值
)
,记作
|z|
,
|z|=|a+bi|= .
a+bi
a=c
且
b=d
a=c
且
b=-d
实轴
虚轴
2.
复数的几何意义
复数
z=a+bi(a
,
b∈R)
复平面内的点
Z(a
,
b)
平面向量
.
3.
复数代数形式的四则运算
(1)
运算法则:
设
z
1
=a+bi
,
z
2
=c+di(a
,
b
,
c
,
d∈R)
,则
z
1
±z
2
=(a+bi)±(c+di)= _______________
,
z
1
·
z
2
=(a+bi)(c+di)= _________________
,
=__________________(c+di≠0).
(a±c)+(b±d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
(2)
复数加法的运算律:
设
z
1
,
z
2
,
z
3
∈C
,则复数加法满足以下运算律:
①
交换律:
z
1
+z
2
=_____
;
②
结合律:
(z
1
+z
2
)+z
3
= __________.
z
2
+z
1
z
1
+(z
2
+z
3
)
【常用结论】
(1)(1±i)
2
=±2i
;
(2) i
4n
=1
,
i
4n+1
=i
,
i
4n+2
=-1
,
i
4n+3
=-i.
(3)i
4n
+i
4n+1
+i
4n+2
+i
4n+3
=0
,
n∈N
*
.
(4)|z|
2
=| |
2
=z
·
=|z
2
|=| |.
【知识点辨析】
(
正确的打“
√”,
错误的打“
×”)
(1)
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
在
C
上一定有根
. (
)
(2)
复数可以相等
,
也可以比较大小
. (
)
(3)
复数
a+bi
的虚部是
bi(a,b∈R). (
)
提示
:
(1) √.
当
Δ
≥0
时有实数根
,
当
Δ<0
时有虚数根
.
(2)×.
虚数不能比较大小
.
(3)×.
复数
a+bi
的虚部是
b.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
复数分类概念不清
考点一、
T2
2
忽视化为复数的代数形式
考点一、
T4
3
忽视复数与点的对应关系
考点二、
T2
4
忽视复数几何意义的应用
考点二、
T3
5
忽视三角公式的应用
考点三、角度
3
【教材
·
基础自测】
1(
选修
2-2P89
练习
BT2
改编
)
已知
z=(m+1)+(m-1)i
在复平面内对应的点在第四象限
,
则实数
m
的取值范围是
(
)
A.(-1,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
【解析】
选
A.
要使复数
z
对应的点在第四象限
,
应满足 解得
-1