2020年高中数学第一章常用逻辑用语1 4页

‎1.1.1‎‎ 命题 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．以下语句中 ‎①{0}∈N　②x2＋y2＝0　③x2>x　④{x|x2＋1＝0}‎ 命题的个数是(　　)‎ A．0　　　 　B．‎1　‎　　 　C．2　　　 　D．3‎ 解析：①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假不是命题；④不是陈述句，不是命题．‎ 答案：B ‎2．下列说法正确的是(　　)‎ A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”‎ B．语句“最高气温‎30 ℃‎时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 解析：A应写成“若p则q”的形式，B是命题，C是假命题，当a>4时，方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题，故选D.‎ 答案：D ‎3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是(　　)‎ A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交 解析：由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．‎ 答案：D ‎4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)‎ A．4 B．‎2 C．0 D．－3‎ 解析：方程无实根，应满足Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件．‎ 答案：C ‎5．“若x2－2x－8＜0，则p”为真命题，那么p是(　　)‎ A．{x|－2＜x＜4}　　　　　 B．{x|2＜x＜4}‎ C．{x|x＞4或x＜－2} D．{x|x＞4或x＜2}‎ 4‎ 解析：由x2－2x－8＜0易得－2＜x＜4，故选A.‎ 答案：A ‎6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________________.它是______命题(填“真”或“假”)．‎ 解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．‎ 答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真 ‎7．把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log‎2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：________________________________________________________________________.‎ 解析：“已知a，b是正数”是一个大前提．‎ 答案：已知a，b为正数，若a>b，则log‎2a>log2b ‎8．下列命题中，真命题是________．‎ ‎①若a2＝b2，则|a|＝|b|；‎ ‎②若M∪N＝N，则M⊆N；‎ ‎③函数y＝sin x，x∈[0,2π]是周期函数；‎ ‎④若直线l与m异面，m与n异面，则l与n异面．‎ 解析：①中a2＝|a|2，b2＝|b|2，故①正确；②正确；③x∈[0,2π]时不符合周期函数的定义，不是周期函数；④l与n有可能共面．‎ 答案：①②‎ ‎9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．‎ ‎(1)当>时，a，则aa，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．‎ 解析：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>‎1”‎．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；‎ 4‎ 若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.‎ 故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2＜2}，若a∈A是真命题，则a的取值范围是(　　)‎ A．a＜ B．a＞－ C．－＜a＜ D．a＜－或a＞ 解析：∵a∈A是真命题，故a2＜2.‎ ‎∴－＜a＜.‎ 答案：C ‎2．已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．‎ 其中真命题的序号为(　　)‎ A．①②③ B．①②‎ C．①③ D．②③‎ 解析：对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．‎ 答案：C ‎3．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，‎ ‎∴ax2－2ax－3≤0恒成立，‎ ‎∴当a＝0时，－3≤0恒成立，‎ 当a≠0时，，∴－3≤a<0.综上－3≤a≤0.‎ 答案：[－3,0]‎ 4‎ ‎4．将下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并判断命题的真假．‎ ‎(1)两条直线相交有且只有一个交点；‎ ‎(2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；‎ ‎(3)全等的两个三角形面积相等．‎ 解析：(1)如果两条直线相交，那么它们有且只有一个交点，是真命题．‎ ‎(2)如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，是真命题．‎ ‎(3)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．‎ ‎5．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－‎3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．‎ 解析：若命题p为真命题，则可知m≤1；‎ 若命题q为真命题，则7－‎3m>1，即m<2.‎ 所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，‎ 即或 故m的取值范围是1