2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 13页

www.ks5u.com ‎11．4　空间中的垂直关系 ‎11．4.1　直线与平面垂直 ‎[课程目标] 1.了解异面直线所成角的概念，会求一些较特殊的异面直线所成的角；2.掌握直线和平面垂直的定义及相关概念；3.掌握直线和平面垂直的判定定理及判定方法．‎ 知识点一　　直线与直线所成的角 ‎[填一填]‎ ‎1．两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小．两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．‎ ‎2．如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．‎ ‎3．规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°.空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.‎ ‎[答一答]‎ ‎1．求异面直线所成的角的解题思路是什么？‎ 提示：把空间两异面直线通过平移，转化为平面内相交直线所成的角，具体的平移过程应视题而定，主要有以下四种平移途径：①利用三角形的中位线平移；②利用平行线分线段成比例的推论平移；③利用平行四边形平移；④利用补形平移．‎ 知识点二　　　直线与平面垂直及其判定定理 ‎[填一填]‎ ‎1．直线与平面垂直的定义：‎ ‎(1)文字语言：直线l与平面α内的任意直线都垂直．‎ ‎(2)图形语言：如下图所示．‎ ‎(3)符号语言：∀m⊂α，l⊥m⇔l⊥α.‎ ‎2．直线与平面垂直的判定定理 ‎(1)文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．‎ ‎(2)图形语言：如下图所示．‎ ‎(3)符号语言：m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.‎ ‎[答一答]‎ ‎2．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？‎ 提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．‎ ‎3．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？‎ 提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．‎ ‎4．直线与平面垂直的判定定理的作用是什么？‎ 提示：直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据，体现了相互转化的数学思想，在应用时，应该注意定理条件的完备性．‎ 知识点三　　直线与平面垂直的性质 ‎[填一填]‎ 定理内容：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．‎ 符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ 图形语言：如图所示．‎ 作用：证明两直线平行．‎ ‎[答一答]‎ ‎5．两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？‎ 提示：垂直．因为两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线，所以另一条直线也垂直于这两条相交直线，故另一条也垂直于这个平面．‎ ‎6．分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行？‎ 提示：平行．因为一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行．‎ 知识点四　　直线与平面垂直的应用 ‎[填一填]‎ ‎1．如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足．‎ ‎2．如图中，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，B为A在平面α内的射影，所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影．则∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．‎ ‎[答一答]‎ ‎7．求线面角的常用方法有哪些？‎ 提示：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．‎ ‎(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．‎ ‎(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．‎ 类型一　　异面直线所成的角 ‎[例1]　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．‎ ‎[解]　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝AB，‎ GF∥CD且GF＝CD，‎ 由AB＝CD知EG＝FG，‎ 从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．‎ ‎∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.‎ 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，‎ 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，‎ 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，‎ 故EF与AB所成角的大小为15°或75°.‎ 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.‎ (2)计算角：求角度，常利用三角形.‎ (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.‎ ‎[变式训练1]　在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B‎1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．‎ 解：如图，连接A‎1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A‎1G，C‎1G.‎ 则OG∥B1D，EF∥A‎1C1.‎ ‎∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．‎ ‎∵GA1＝GC1，O为A‎1C1的中点，‎ ‎∴GO⊥A‎1C1.‎ ‎∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.‎ 类型二　　直线与平面垂直的判定定理 ‎[例2]　如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.‎ ‎[证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.‎ 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ 又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.‎ ‎∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.‎ ‎1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．‎ ‎2．线线垂直与线面垂直的转化关系 ‎[变式训练2]　如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别为AB、PC的中点，‎ 求证：MN⊥平面PCD.‎ 证明：取PD的中点E，连接AE，NE，∵N，E为中点，‎ ‎∴NE为△PCD的中位线，∴NE綉CD.‎ 在矩形ABCD中，AB綉CD，‎ 又∵M为AB的中点，∴AM綉CD.∴AM綉NE，‎ ‎∴四边形AMNE为平行四边形，∴AE∥MN.‎ 又∵△PAD为等腰三角形，E为PD的中点．‎ ‎∴AE⊥PD，∴MN⊥PD.‎ 连接PM、CM，设AD＝a，AB＝2b，‎ ‎∴PM2＝a2＋b2，CM2＝a2＋b2，‎ ‎∴CM＝PM，∴MN⊥PC.‎ 又∵PC∩PD＝P，∴MN⊥平面PCD.‎ 类型三　　直线与平面垂直的性质定理 ‎[例3]　如右图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为A1D和AC上的点，EF与异面直线AC，A1D均垂直．求证：EF∥BD1.‎ ‎[分析]　BD1为正方体的体对角线，连接AB1，B‎1C后可证得BD1⊥平面AB‎1C，只需证EF⊥平面AB‎1C即可．‎ ‎[证明]　连接AB1，B‎1C，BD，B1D1.‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.‎ 又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.‎ 同理可证BD1⊥B‎1C.∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ 又EF与异面直线AC，A1D均垂直，即EF⊥AC，EF⊥A1D.‎ 又A1D∥B‎1C，∴EF⊥B‎1C，‎ ‎∴EF⊥平面AB‎1C，∴EF∥BD1.‎ 正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征，解题时，要充分挖掘这些几何体的线面关系.如直棱柱的侧棱垂直于底面等.‎ ‎[变式训练3]　如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.‎ 证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，‎ 即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.‎ 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.‎ 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，‎ 又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.‎ 由线面垂直的性质定理，得a∥l.‎ 类型四　　直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用 ‎[例4]　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，四边形 ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，E为AB的中点，P为线段CM上的一点．‎ 求证：DE⊥CN.‎ ‎[证明]　连接DB，在菱形ABCD中，‎ AD＝AB，∠DAB＝60°.‎ ‎∴△ABD为等边三角形．‎ 又∵E为AB的中点，∴DE⊥AB.‎ 又∵AB∥DC，∴DE⊥DC.‎ ‎∵四边形ADNM为矩形，∴DN⊥AD.‎ 又∵平面ADNM⊥平面ABCD，‎ 平面ADNM∩平面ABCD＝AD，DN⊂平面ADNM，‎ ‎∴DN⊥平面ABCD，‎ ‎∵DE⊂平面ABCD，∴DN⊥DE.‎ 又∵DE⊥DC，DC∩DN＝D，∴DE⊥平面DCN，‎ ‎∵CN⊂平面DCN，∴DE⊥CN.‎ ‎1.线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了→→，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用．‎ ‎2．要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法．‎ ‎[变式训练4]　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥‎ α于R，求证：QR⊥AB.‎ 证明：‎ 如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.‎ ‎∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.‎ ‎∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.‎ ‎∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.‎ ‎∴PQ与OR确定平面PQRO.‎ 又∵QR⊂平面PQRO，∴QR⊥AB.‎ 类型五　　点到平面的距离 ‎[例5]　如图所示，已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求P点到平面ABC的距离．‎ ‎[解]　过P作PO⊥平面ABC于O，连接AO、BO、CO.‎ ‎∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.‎ ‎∵PA＝PB＝PC＝a，∴△PAO≌△PBO≌△PCO.‎ ‎∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．‎ ‎∵PA、PB、PC两两垂直，‎ ‎∴AB＝BC＝CA＝a，△ABC为正三角形，‎ ‎∴AO＝AB＝a，∴PO＝＝a.‎ 因此点P到平面ABC的距离为a.‎ ‎1.求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离，然后使所求距离在某一个三角形中，最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.‎ ‎2.求距离问题转化成解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.‎ ‎[变式训练5]　已知：线段AB的中点为O，O∈平面α.求证：A，B两点到平面α的距离相等．‎ 证明：(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．‎ ‎(2)当AB⊄平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A、点B到平面α的距离，且AA1∥BB1.所以AA1与BB1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1.因为O∈AB，AB⊂β，所以O∈β.‎ 又因为O∈α，所以O∈A1B1.所以∠AOA1＝∠BOB1.‎ 又AA1⊥A1O，BB1⊥B1O，AO＝BO.‎ 所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以AA1＝BB1，‎ 综上，A，B两点到平面α的距离相等．‎ ‎1．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，与棱AA1互相垂直的棱的条数为(　C　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：∵AA1⊥平面ABCD，AA1⊥平面A1B‎1C1D1，∴与AA1垂直的棱共有8条．‎ ‎2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　C　)‎ A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．‎ ‎3．在三棱锥PABC中，若PA＝PB＝PC，则顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的(　B　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：如图，作PO⊥平面ABC，‎ ‎∵PA＝PB＝PC，‎ 易证△AOP，△BOP，△COP全等，‎ ‎∴OA＝OB＝OC.‎ ‎4．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝‎5 cm，AC＝‎2 cm，‎ 则B到平面PAC的距离为 cm.‎ 解析：∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.‎ 又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.‎ 又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，‎ ‎∴BC即为B到平面PAC的距离．‎ 在Rt△ABC中，BC＝＝＝(cm)．‎