2020高中数学奇偶性的应用 5页

- 1 - 课时分层作业(十二) 奇偶性的应用 (建议用时：40 分钟) [学业达标练] 一、选择题 1．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( ) 【导学号：37102172】 A．y＝|x| B．y＝1－x C．y＝1 x D．y＝－x2＋4 A [选项 B 中，函数不具备奇偶性；选项 C 中，函数是奇函数；选项 A，D 中的函数是偶函数， 但函数 y＝－x2＋4 在区间(0,1)上单调递减．故选 A.] 2．已知 f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则 f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关 系是( ) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) C [∵函数 f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上 是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即 f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选 C.] 3．若函数 f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1 是偶函数，则函数 f(x)的单调递增区间为( ) 【导学号：37102173】 A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) A [因为函数为偶函数，所以 a＋2＝0，a＝－2，即该函数 f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞， 0]上单调递增．] 4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图 1312，下列说法正确的是( ) 图 1312 A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值是 7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7 C [根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这 - 2 - 个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是 7；在其定义域内最小 值不是－7.故选 C. ] 5．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)f(1)>f(2)＝f(－2)．] 三、解答题 9．(1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝2x，求 f(x)的解析式； (2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝2x，求函数 f(x)，g(x)的解析式. 【导学号：37102176】 [解] (1)设 x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝2(－x)＝－2x， 又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， - 3 - ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x， ∴当 x<0 时，f(x)＝2x. 又 f(－0)＝－f(0)，解得 f(0)＝0 也适合上式． ∴f(x)＝2x，x∈R. (2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由 f(x)＋g(x)＝2x.① 用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x， ∴f(x)－g(x)＝－2x，② (①＋②)÷2，得 f(x)＝0； (①－②)÷2，得 g(x)＝2x. 10．已知 f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式 f(1－x) ＋f(1－2x)<0. [解] ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴由 f(1－x)＋f(1－2x)<0，得 f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)2x－1， 解得 00 时，f(x)有最大值1 4 . - 4 - 法二(直接法)：当 x>0 时，－x<0， 所以 f(－x)＝－x(1－x)． 又 f(－x)＝－f(x)， 所以 f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－ x－1 2 2 ＋1 4 ， 所以 f(x)有最大值1 4 .故选 B.] 2．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，则 f(7.5) 等于( ) A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5 B [由 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2) ＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.] 3．如果函数 F(x)＝ 2x－3，x>0， f x ，x<0 是奇函数，则 f(x)＝________. 【导学号：37102178】 2x＋3 [当 x<0 时，－x>0，F(－x)＝－2x－3， 又 F(x)为奇函数，故 F(－x)＝－F(x)， ∴F(x)＝2x＋3，即 f(x)＝2x＋3.] 4．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则f x x <0 的解集为________． {x|－33} [∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f(3)＝f(－3)＝0.当 x>0 时，f(x)<0，解得 x>3； 当 x<0 时，f(x)>0，解得－30，求实数 m 的取值范围. 【导学号：37102179】 [解] (1)因为函数 f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以 f(0)＝0，解得 b＝0. (2)因为函数 f(x)在[0,2]上是增函数，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)在[－2,2]上是单调递增 的， 因为 f(m)＋f(m－1)>0， 所以 f(m－1)>－f(m)＝f(－m)， 所以 m－1>－m，① 又需要不等式 f(m)＋f(m－1)>0 - 5 - 在函数 f(x)定义域范围内有意义． 所以 －2≤m≤2， －2≤m－1≤2 ② 解①②得1 2