2019-2020学年高中数学课时作业4点的直角坐标与极坐标的互化北师大版选修4-4 6页

课时作业(四)‎ ‎1．点M的直角坐标为(0，)，则极坐标为(　　)‎ A．(，0)　　　　　　　　 B．(0，)‎ C．(，) D．(，－)‎ 答案　C ‎2．直角坐标系中，点(1，－)的极坐标可以是(　　)‎ A．(2，) B．(2，)‎ C．(2，) D．(2，)‎ 答案　D ‎3．极坐标系中，极坐标为(3，－6)的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　∵π<6<2π，∴6为第四象限角，故－6为第一象限角．所以极坐标(3，－6)在第一象限．‎ ‎4．设点P对应复数为－3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为(　　)‎ A．(3，π) B．(－3，π)‎ C．(3，π) D．(－3，π)‎ 答案　A 解析　因为点P对应的复数为－3＋3i，则点P的直角坐标为(－3，3)，点P到原点的距离r＝3，且点P在第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为(3，)．‎ ‎5．若点M的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为(　　)‎ A．(3，4) B．(4，3)‎ C．(－4，3) D．(－3，4)‎ 答案　D 6‎ 解析　因为tanθ＝－，<θ<π.所以cosθ＝－，sinθ＝，所以x＝5cosθ＝－3，y＝5sinθ＝4，故点M的直角坐标为(－3，4)．‎ ‎6．下列结论不正确的是(　　)‎ A．(2，)与(2，－)关于极轴对称 ‎ B．(2，)与(2，)关于极点对称 C．(2，)与(－2，)关于极轴对称 D．(2，)与(－2，－)关于极点对称 答案　D 解析　观察四个选项，距离参数符合要求，研究极角关系，(2，)与(－2，－)不是关于极点对称．‎ ‎7．在极坐标系中，点A(2，)与B(2，－)之间的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　方法一：在极坐标系中画出两点A，B即可得解．‎ 方法二：xA＝2cos＝，yA＝2sin＝1，‎ xB＝2cos(－)＝，yB＝2sin(－)＝－1，‎ ‎∴A(，1)，B(，－1)，∴|AB|＝2.‎ ‎8．在极坐标系中，点A(，)，B(，)，则线段AB中点的极坐标为(　　)‎ A．(，) B．(1，)‎ C．(，) D．(，)‎ 答案　A ‎9．直角坐标点(－1，－1)化为极坐标为________．‎ 答案　(，＋2kπ)k∈Z 解析　利用坐标互化易得．‎ 6‎ ‎10．已知点A的极坐标为(4，－)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，则下列直角坐标中，与点A表示同一点的是________．‎ ‎(1)(2，－2)；(2)(－2，2)；(3)(2，－2)；(4)(－2，－2)．‎ 答案　(2)‎ 解析　由极坐标与直角坐标的互化公式，得x＝4cos(－)＝－2，y＝4sin(－)＝2，故填(2)．‎ ‎11．已知两点的极坐标A(3，)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为________．‎ 答案　 解析　点A，B的直角坐标为分别为(0，3)，(，)，故kAB＝＝－，故直线AB的倾斜角为.‎ ‎12．将向量＝(－1，)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________．‎ 答案　(－1，－)‎ 解析　由于M(－1，)的极坐标为(2，)，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为(2，)，化为直角坐标为(－1，－)，即为所求．‎ ‎13．M的极坐标为(6，)，则点M关于y轴对称的直角坐标为________．‎ 答案　(－3，－3)‎ 解析　∵xM＝6·cosπ＝3，yM＝6sinπ＝－3，∴对称点为(－3，－3)．‎ ‎14．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ<2π时，求点P的极坐标．‎ 解析　设P点直角坐标为(x，y)，则x＝3，y＝－，‎ ‎∴P(3，－)，∴ρ＝＝2，tanθ＝.‎ ‎∵θ∈[0，2π)，∴θ＝π，∴极坐标为(2，π)．‎ ‎15．如果点M的极坐标为(ρ，θ)，那么点M关于极点O的对称点M′可以表示为(－ρ，θ)．‎ 6‎ ‎(1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性；‎ ‎(2)已知点M的极坐标为(－2，－)，若限定ρ>0，0≤θ<2π，求点M的极坐标；‎ ‎(3)试问(ρ，θ)，(－ρ，π＋θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)是否都表示同一点的极坐标？‎ 解析　(1)由M(ρ，θ)，得xM＝ρcosθ，yM＝ρsinθ.‎ 由M′(－ρ，θ)，得x＝－ρcosθ，y＝－ρsinθ.‎ 所以上述表示是合理的．‎ ‎(2)∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，‎ ‎∴(－2，－)与(2，)为同一点的极坐标．‎ 故点M的极坐标为(2，)．‎ ‎(3)由上述可知(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)为同一点，‎ 又由于(ρ，θ)与(ρ，2π＋θ)为同一点，‎ ‎(－ρ，π＋θ)与(－ρ，－π＋θ)为同一点．‎ ‎∴(ρ，θ)，(－ρ，θ＋π)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的极坐标．‎ ‎1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为(　　)‎ A．(2，) B．(2，)‎ C．(2，π) D．(2，)‎ 答案　B ‎2．已知点M的极坐标为(2，)，则其直角坐标为(　　)‎ A．(2，0) B．(0，)‎ C．(1，) D．(，1)‎ 答案　D 解析　∵x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，‎ ‎∴点M的直角坐标为(，1)．‎ ‎3．在直角坐标系中，已知点M在直线y＝x上，且|MO|＝1，则点M的极坐标为________．(θ∈[0，2π))‎ 6‎ 答案　(1，)或(1，π)‎ ‎4．在直角坐标为(3π，－4π)的点M到极轴的距离为________．‎ 答案　4π 解析　数形结合，如图所示，‎ 点(3π，－4π)到极轴的距离为4π.‎ ‎5．在极坐标系中，若点A(3，)，B(4，)．‎ ‎(1)求|AB|；‎ ‎(2)求△AOB的面积(O为极点)．‎ 解析　如图所示，‎ ‎(1)∠AOB＝－＝.‎ 所以|AB|2＝32＋(4)2－2×3×4cos＝93.‎ 所以|AB|＝.‎ ‎(2)S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4×＝3.‎ ‎6．已知两点的极坐标A(3，)，B(3，)，AB与极轴交于点C，求：‎ ‎(1)|AB|，|AC|；‎ ‎(2)∠ACx和点C的一个极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)．‎ 解析　(1)根据极坐标的定义可得，‎ ‎|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝，‎ 即△AOB为等边三角形，‎ 所以|AB|＝|AO|＝|BO|＝3，|AC|＝6.‎ ‎(2)由题意可知∠ACx＝π－＝，‎ 6‎ 因为|OC|＝6cos＝6×＝3，‎ 所以点C的极坐标为(3，0)．‎ 6‎