2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第2讲概率与统计的综合应用课时作业文 7页

层级二 专题六 第2讲 概率与统计的综合应用(文)‎ 限时50分钟　满分76分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1.‎ ‎(2020·吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　[由题意，所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型．‎ 由图可知，大圆的直径等于函数y＝3sinx的周期T.‎ 设大圆的半径为R，则R＝＝×＝6，‎ 则大圆面积为S1＝πR2＝36π.‎ 两个小圆的半径都为1，故其面积和为S2＝π×12×2＝2π，‎ 由几何概型可得，所求事件的概率P＝＝.故选B.]‎ ‎2．(课标全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：‎ - 7 -‎ C　[从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝，故选C.]‎ ‎3．(2020·海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是＝.]‎ ‎4．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：D　[本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故选D.]‎ ‎5．(2020·保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成绩及班级平均分(单位：分)如表所示：‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 ‎95‎ ‎87‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎87‎ ‎94‎ 乙 ‎88‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎78‎ ‎86‎ ‎72‎ 丙 ‎69‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎71‎ ‎74‎ ‎74‎ 全班 ‎88‎ ‎72‎ ‎81‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎77‎ 则下列说法错误的是(　　)‎ A．甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定 B．乙同学的数学成绩平均值是81.5分 - 7 -‎ C．从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次，这2次中至少有1次成绩超过70分的概率为 D．在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的概率为 解析：D　[由统计表知，甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A正确；乙同学的数学成绩平均值是×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正确；从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次的所有可能情况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成绩超过70分的情况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为，故C正确；在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为，故D不正确．故选D.]‎ ‎6．(2019·潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天．日销售量为20个的3天，分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天，分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝.]‎ 二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)‎ ‎7．已知1,4,2,8，y这5个数的平均值为4，在2,0,1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为________．‎ - 7 -‎ 解析：由题意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同情况，其中2是取出的3个不同数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种，∴对应的概率P＝＝.‎ 答案： ‎8．(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．‎ 解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种情况．‎ 若选出的2名学生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6种情况，‎ 若选出的2名学生都是女生，有B1B2共1种情况，‎ 所以所求的概率为＝.‎ 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎9．(2020·武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 投资金额x/万元 ‎4.5‎ ‎5.0‎ ‎5.5‎ ‎6.0‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎7.5‎ 年利润增长量y/万元 ‎6.0‎ ‎7.0‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ ‎8.9‎ ‎9.6‎ ‎11.1‎ ‎(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程．如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)‎ ‎(2)现从2013年至2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，求这两年都是λ＞2万元的概率．‎ - 7 -‎ 解析：(1)＝6，＝8.3,7 ＝348.6，‎ ＝＝＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，‎ 所以回归直线方程为＝1.57x－1.13.‎ 将x＝8代入方程得＝1.57×8－1.13＝11.43，‎ 即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元．‎ ‎(2)由题意可知，‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ λ/万元 ‎1.5‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎2.1‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ ‎3.6‎ ‎2013年至2019年这7年分别记为1,2,3,4,5,6,7，则总的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种，‎ 抽出的两年都是λ＞2万元的情况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，‎ 所以抽出的两年都是λ＞2万元的概率P＝＝.‎ ‎10．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ ‎　　　　支付金额 支付方式　　　　‎ 不大于2 000元 大于2 000元 - 7 -‎ 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；‎ ‎(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；‎ ‎(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．‎ 解析：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．(1)由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，‎ 由题意知A，B两种支付方式都不使用的有5人，‎ 所以样本中两种支付方式都使用的有100－30－25－5＝40，‎ 所以全校学生中两种支付方式都使用的有×1 000＝400(人)．‎ ‎(2)因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2 000元，‎ 所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为.‎ ‎(3)由(2)知支付金额大于2 000元的概率为，‎ 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元，‎ 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多．‎ 答案：(1)400人　(2)　(3)见解析 ‎11．(2020·辽宁六校协作体联考)十九大报告指出，坚决打赢脱贫攻坚战．某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚测量它们的质量(单位：克)，其质量分布在区间[1 500,3 000]内，根据统计质量的数据作出频率分布直方图如图所示．‎ - 7 -‎ ‎(1)按分层抽样的方法从质量落在[1 750,2 000)，[2 000，2 250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚的质量均小于2 000克的概率；‎ ‎(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：‎ A．所有蜜柚均以40元/千克的价格收购；‎ B．质量低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购，质量高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购．‎ 请你通过计算为该村选择收益最好的方案．‎ 解析：(1)由题意得蜜柚质量在[1 750,2 000)内和在[2 000，2 250)内的比例为2∶3，‎ 所以应分别从质量在[1 750,2 000)内和在[2 000，2 250)内的蜜柚中各抽取2个和3个．‎ 记抽取质量在[1 750,2 000)内的蜜柚为A1，A2，质量在[2 000,2 250)内的蜜柚为B1，B2，B3，‎ 则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：‎ ‎{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．‎ 其中2个蜜柚的质量均小于2 000克的仅有{A1，A2}这1种情况，故所求概率为.‎ ‎(2)方案A好，理由如下．‎ 由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1 500,1 750)内的频率为250×0.000 4＝0.1，‎ 同理可得，蜜柚质量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.‎ 若按方案A收购，‎ 根据题意可得各组蜜柚的个数依次为500,500,750，2 000，1 000,250.‎ 则总收益为(×500＋×500＋×750＋×2 000＋×1 000＋×250)×40÷1 000＝×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12)×1]×40÷1 000＝1 250×(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457 500(元)．‎ 若按方案B收购，‎ 易知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，‎ 蜜柚质量不低于2 250的个数为5 000－1 750＝3 250.‎ 所以总收益为1 750×60＋3 250×80＝250×20×(7×3＋13×4)＝365 000(元)．‎ 因为457 500＞365 000，即方案A的收益比方案B的收益高，所以应该选择方案A.‎ - 7 -‎