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- 2021-06-19 发布
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2014届高三理科数学一轮复习试题选编21:椭圆
一、选择题
.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )椭圆的左右焦点分别为,若椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
解:当点P位于椭圆的两个短轴端点时,为等腰三角形,此时有2个。,若点不在短轴的端点时,要使为等腰三角形,则有或。此时。所以有,即,所以,即,又当点P不在短轴上,所以,即,所以。所以椭圆的离心率满足且,即,所以选 D.
二、填空题
.(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)已知椭圆 的两个焦点是,,点在该椭圆上.若,则△的面积是______.
【答案】
解:由椭圆的方程可知,且,所以解得,又,所以有,即三角形为直角三角形,所以△的面积。
.(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,的小大为_____________.
【答案】【解析】椭圆的,,所以.因为,所以,所以.所以,所以
三、解答题
.(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)(本小题满分分)
已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.
【答案】(本题满分分)
解:(Ⅰ)因为满足, ,
.解得,则椭圆方程为
(Ⅱ)(1)将代入中得
因为中点的横坐标为,所以,解得
(2)由(1)知,
所以
.(北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )已知点是椭圆的左顶点,直线与椭圆相交于两点,与轴相交于点.且当时,△的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线,与直线分别交于,两点,试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)当时,直线的方程为,设点在轴上方,
由解得,所以.
因为△的面积为,解得.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
(Ⅱ)由得,显然.…………………5分
设,
则,………………………………………………6分
,.
又直线的方程为,由解得,
同理得.所以,……………………9分
又因为
.…………………………13分
所以,所以以为直径的圆过点. …………………………………14分
.(2013北京海淀二模数学理科试题及答案)已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求
(为原点)面积的最大值.
【答案】解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为
(II)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率,
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则
所以
因为,
所以,当且仅当时,取得最大值为
当直线的斜率不为时,则设的方程为
所以,代入得到
当, 即
方程有两个不同的解
又,
所以,又,化简得到
代入,得到
又原点到直线的距离为
所以
化简得到
因为,所以当时,即时,取得最大值
综上,面积的最大值为
.(2013北京房山二模数学理科试题及答案)已知椭圆:的离心率为,且过点.直线
交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ), ,,,
(Ⅱ)设 , ,由
, ① ②
,
设为点到直线BD:的距离,
当且仅当时等号成立
∴当时,的面积最大,最大值为
.(2013北京昌平二模数学理科试题及答案)本小题满分13分)
如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率
,为椭圆的左焦点,且 .
(I)求此椭圆的方程;
(II)设是此椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得. 连接并延长交直线于点为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可知,, ,,
又, ,解得
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设,则 由
所以直线方程由得直线
由
又点的坐标满足椭圆方程得到: ,所以
直线的方程:
化简整理得到: 即
所以点到直线的距离
直线与为直径的圆相切
.(北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 )曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是(0,1),线段MN是的短轴,是的长轴.直线与交于A,D两点(A在D的左侧),与交于B,C两点(B在C的左侧).
(Ⅰ)当m= , 时,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若OB∥AN,求离心率e的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设C1的方程为,C2的方程为,其中...2分
C1 ,C2的离心率相同,所以,所以,……………………….…3分
C2的方程为.
当m=时,A,C. .………………………………………….5分
又,所以,,解得a=2或a=(舍), ………….…………..6分
C1 ,C2的方程分别为,.………………………………….7分
(Ⅱ)A(-,m), B(-,m) . …………………………………………9分
OB∥AN,,
, . …………………………………….11分
,,. ………………………………………12分
,,.........................................................13分
.(2013北京西城高三二模数学理科)如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.
(Ⅰ)若点的坐标为,求的值;
(Ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)解:依题意,是线段的中点,
因为,,
所以 点的坐标为
由点在椭圆上,
所以 ,
解得
(Ⅱ)解:设,则 ,且. ①
因为 是线段的中点,
所以
因为 ,
所以 . ②
由 ①,② 消去,整理得
所以 ,
当且仅当 时,上式等号成立.
所以 的取值范围是
.(2013北京丰台二模数学理科试题及答案)已知椭圆C:的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)若∆BME面积是∆AMF面积的5倍,求m的值.
【答案】解:(Ⅰ)依题意知,,;
(Ⅱ),M (m,),且,
直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= ,
由得,
由得,;
(Ⅲ),,,
,,,
,整理方程得,即,
又,, ,为所求
.(2013北京顺义二模数学理科试题及答案)已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.
【答案】解:(I)由已知得且,解得,
又,所以椭圆的方程为
(II)设.
当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点在轴上,且与点不重合,
显然三点不共线,不符合题设条件.
故可设直线的方程为.
由消去整理得.①
则,
所以点的坐标为.
因为三点共线,所以,因为,所以,
此时方程①为,则,
所以,
又,
所以,
故当时,的最大值为
.(2013北京东城高三二模数学理科)已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.
(Ⅲ)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为,,所以 .
因为原点到直线:的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为.
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为,
所以 解得 ,. 所以.
因为点在椭圆:上,所以.
因为, 所以.所以的取值范围为.
(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知.
设,,的中点是,
则,.
所以. 所以.
即 . 又因为,
所以.所以
.(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足,且AB⊥AF2.
(I)求椭圆C的离心率;
(II)若过A、B、F2三点的圆与直线l:x=0相切,求椭圆C的方程;
(Ⅲ)在(II)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
【答案】
.(北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷(解析))已知椭圆的上顶点为
,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.
【答案】解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.
由直线与圆相切,得,
所以或(舍去).
当时,,
故椭圆的方程为
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,
则直线的方程为.
因为点在椭圆内,
所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.
由得.
设点的坐标分别为,则
,
所以
.
又因为点到直线的距离,
所以的面积为
设,则且,
.
因为,
所以当时,的面积达到最大,
此时,即.
故当的面积达到最大时,直线的方程为
.(2013北京高考数学(理))已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【答案】解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是.
(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M(,).
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
.(2011年高考(北京理))已知椭圆G:.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
【答案】【命题立意】本题考查椭圆的标准方程和性质以及直线被椭圆截得的弦长的求法,运用基本不等式求解函数的最值问题.考查学生的运算能力和综合解答问题的能力.
【解析】(Ⅰ)由已知得,
所以椭圆G的焦点坐标为,,离心率为
(Ⅱ)由题意知,.
当时,切线的方程为,点A,B的坐标分别为,,此时
当时,同理可得
当时,设切线的方程为,
由,得
设A、B两点的坐标分别为,,则
又由与圆相切,得,即
所以
由于当时,,所以
因为,当且仅当时,
所以的最大值是2
.(2013北京朝阳二模数学理科试题)已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设,,则,.
由,得.又因为,
解得.
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,,则,
所以弦的中点为
所以
直线的方程为, 由,得,则,
所以 所以
又因为,所以. 所以.
所以的取值范围是
.(北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学)已知椭圆C:,左焦点,且离心率
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点(不是左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A. 求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可知: ……1分
解得 ………2分
所以椭圆的方程为: ……3分
(II)证明:由方程组 …4分
整理得 ………..5分
设
则 …….6分
由已知,且椭圆的右顶点为 ………7分
……… 8分
即
也即 …… 10分
整理得: ……11分
解得均满足 ……12分
当时,直线的方程为,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13分
当时,直线的方程为,过定点
故直线过定点,且定点的坐标为 …….14分
.(北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题)椭圆的中心为坐标原点,右焦点为,且椭圆过点.的三个顶点都在椭圆上,设三条边的中点分别为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设的三条边所在直线的斜率分别为,且.若直线
的斜率之和为0,求证:为定值.
【答案】解:(1)设椭圆的方程为,
由题意知:左焦点为
所以,
解得, .
故椭圆的方程为.(方法2、待定系数法)
(2)设,,
由:,,两式相减,得到
所以,即,
同理,
所以,又因为直线的斜率之和为0,
所以
方法2:
设直线:,代入椭圆,得到
,化简得
以下同
.(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )已知椭圆的离心率为
(I)若原点到直线的距离为求椭圆的方程;
(II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A,B两点.
(i)当,求b的值;
(ii)对于椭圆上任一点M,若,求实数满足的关系式.
【答案】解:(I)
解得
椭圆的方程为 …………………………4分
(II)(i)∵e椭圆的方程可化为:
①
易知右焦点,据题意有AB: ②
由①,②有: ③
设,
………………………8分
(2)(ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数λ,μ,使得等成立.
设M(x,y),
又点M在椭圆上, ④
由③有:
则
⑤
又A,B在椭圆上,故有 ⑥
将⑥,⑤代入④可得: ……………………14分
.(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))已知椭圆的左右两个顶点分别为,点是直线上任意一点,直线,分别与椭圆交于不同于两点的点,点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点的坐标;
(Ⅱ)(i)证明三点共线;
(Ⅱ)求面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ),,所以,.
所以,椭圆的离心率.
右焦点.
(Ⅱ)(i),.设,显然.
则,.
由解得
由解得
当时,,三点共线.
当时,,
,
所以,,所以,三点共线.
综上,三点共线.
(Ⅱ)因为三点共线,所以,△PQB的面积
设,则
因为,且,所以,,且仅当时,,
所以,在上单调递减.
所以,,等号当且仅当,即时取得.
所以,△PQB的面积的最大值为.
.(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))已知椭圆的离心率为,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点,线段的垂直平分线交轴于点,求 的取值范围.
【答案】解: (Ⅰ)椭圆的方程为:
(Ⅱ)设,则 ,.
依题意有 ,即,
整理得 .
将,代入上式,消去,
得 .
依题意有 ,所以.
注意到 ,,且两点不重合,从而.
所以 .
.(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围;
(Ⅲ)若直线不过点,求证:直线的斜率互为相反数.
【答案】(Ⅰ)设椭圆的方程为,因为,所以,
又因为,所以,解得,
故椭圆方程为. …………………4分
(Ⅱ)将代入并整理得,
解得. …………………7分
(Ⅲ)设直线的斜率分别为和,只要证明.
设,,
则. …………………9分
所以直线的斜率互为相反数. …………………14分
.(2013届北京市高考压轴卷理科数学)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.
①求四边形APBQ面积的最大值;
②设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为
由已知b= 离心率 ,得
所以,椭圆C的方程为
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为 ,,则,
设AB(),直线AB的方程为,代人
得:.
由△>0,解得,由根与系数的关系得
四边形APBQ的面积
故当 ②由题意知,直线PA的斜率,直线PB的斜率
则
=
=,由①知
可得
所以的值为常数0
.(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,
依题意得解得,.
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)显然点.
(1)当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,,所以
(2)当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意.
由得.
设,则.
直线,的方程分别为:,
令,则.
所以,
所以
因为,所以,所以,即.
综上所述,的取值范围是
.(北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知椭圆的中心在原点,短半轴的端点到其右焦点的距离为,过焦点F作直线,交椭圆于两点.
(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若椭圆上有一点,使四边形恰好为平行四边形,求直线的斜率.
【答案】解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为,…………………… 1分
则 ,. …………………………………………2分
所以 , …………………………………3分
所以 椭圆方程为. …………………………………………4分
(Ⅱ)若直线轴,则平行四边形AOBC中,点C与点O关于直线对称,此时点C坐标为.因为 ,所以点C在椭圆外,所以直线与轴不垂直. …………………………………………6分
于是,设直线的方程为,点,, …7分
则 整理得, … 8分
, ………………………………………… 9分
所以 . ……………………………………… 10分
因为 四边形为平行四边形,
所以 , ……………………………………… 11分
所以 点的坐标为, ……………………………12分
所以 , ……………………………13分
解得,
所以. ………………………………14分
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