2020年高中数学 第三章 不等式 7页

‎3.4.2‎‎ 简单线性规划 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ A．矩形　　　　　　　　 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 解析：选B.不等式组⇔‎ 或，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.‎ ‎2．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．5 D．9‎ 解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1，1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)‎ A．2 B．1‎ C．－ D．－ 解析：选C.如图所示，‎ 7‎ 所表示的平面区域为图中的阴影部分．‎ 由 得A(3，－1)．‎ 当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－.‎ ‎4．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1，2)‎ C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)‎ 解析：选A.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1，－1)，要使题中不等式组表示的区域为三角形区域，首先必须使k<0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l1与l2，易得k的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎5．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1，1)的连线的斜率，由图可知点A(－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，‎ 7‎ 最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W＜1.‎ ‎6.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．　‎ 解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z最大．‎ 答案：(0，5)‎ ‎7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.‎ 答案：－10‎ ‎8．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．‎ 解析：不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2，3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.‎ 7‎ 答案： ‎9．已知f(x)＝(‎3a－1)x＋b－a，x∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．‎ 解：因为f(x)≤1在[0，1]上恒成立，‎ 所以 即 将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为.‎ ‎10．已知x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值；‎ ‎(2)求z＝的取值范围．‎ 解：作出可行域如图所示．‎ ‎(1)作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．‎ 解得A.‎ 解得B(5，3)．‎ 所以zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋＝.‎ 7‎ ‎(2)z＝＝，可看作区域内的点(x，y)与点D(－5，－5)连线的斜率，由图可知，kBD≤z≤kCD.‎ 因为kBD＝＝，kCD＝＝，所以z＝的取值范围是.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为(　　)‎ A. B． C．4 D． 解析：选B.由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．因为kAC＝－，所以a＝.‎ ‎12．设点P(x，y)是不等式组所表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1，1)，n＝(2，1)，点O是坐标原点，若向量＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是________．‎ 解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x，y)＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x＋3y，变形得y＝x＋.当直线y＝x＋过点A(－1，0)时，z取得最大值，且zmax＝2；当直线y＝x＋过点B(3，0)时，z取得最小值，且zmin＝－6.故λ－μ的取值范围是[－6，2]．‎ 答案：[－6，2]‎ ‎13．在约束条件下，当3≤s≤5时，求目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围．‎ 解：如图，由 7‎ 得 交点为B(4－s，2s－4)，其他各交点分别为A(2，0)，C(0，s)，C′(0，4)．　‎ ‎(1)当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC，此时7≤zmax＜8；‎ ‎(2)当4≤s≤5时，可行域是△OAC′，此时zmax＝8.‎ 由(1)，(2)可知目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7，8]．‎ ‎14．(选做题)实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：‎ ‎(1)点(a，b)对应的区域的面积；‎ ‎(2)的取值范围；‎ ‎(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．‎ 解：方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组 ⇔ 由解得A(－3，1)；‎ 由解得B(－2，0)；‎ 由解得C(－1，0)．‎ 所以在如图所示的坐标平面aOb内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．‎ ‎(1)△ABC的面积为S△ABC＝×|BC|×h＝(h为A到Oa轴的距离)．‎ ‎(2)的几何意义是点(a，b)和点D(1，2)连线的斜率．‎ 7‎ kAD＝＝，kCD＝＝1.‎ 由图可知，kAD＜＜kCD.‎ 所以＜＜1，‎ 即∈.‎ ‎(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．‎ 7‎